高维Copula-Monte Carlo模型在投资组合中的应用研究

摘 要:将Monte Carlo理论与Copula函数结合,建立了高维投资组合分析的copula-monte carlo模型。针对我国股票市场的组合投资问题进行了实证分析,并以最优期望效用函数作为目标求出了最优投资组合。

关键词:Copula函数;Monte Carlo模拟;效用函数

中图分类号:F830 文献标识码:A 文章编号:1672-3198(2010)06-0184-02

经济全球化和金融市场的多样及复杂化加剧了金融市场的波动性和风险性。Markowitz于1952年首次提出的投资组合理论就成为世界各国经济学家倾力关注的热点。现阶段的研究大都集中于两种资产的相关结构,对于多资产组合的风险分析由于复杂性而致使研究相对匮乏,主要难点在于如何选择一定的工具来刻画多个金融资产间的相依结构。运用新的数学方法研究多个金融资产投资组合风险分析具有十分重要的现实意义。本文采用非参数核估计刻画单个金融资产的分布和copula函数描述多个金融资产间的相依结构。运用Monte Carlo模拟方法计算金融变量资产的Var,并结合效用函数去确定投资组合的比例系数,从而获得最优的资金分配方案。

1 Copula研究现状

Copula理论研究源于Sklar,而Nelsen比较系统地介绍了Copula的定义、构建方法、Archimedean Copula及变量间的相依关系。Copula理论对分析变量间相关性具有特殊优势,目前已被广泛应用于金融领域,如金融市场上的风险管理、投资组合的选择、资产定价等方面,已经成为解决金融问题的一个强有力工具。

但国内外关于二维Copula的研究已较成熟,多变量的相关结构分析主要利用了正态Copula和t-Copula,而这两种函数大多描述的是变量间的线性相关结构,与实际金融数据的尖峰厚尾性相距甚远,因此,本文选择Archimedean Copula来刻画多个资产的相关结构,结合Monte Carlo技术进行投资组合风险分析。

2 产生多维随机序列的Monte Carlo算法

蒙特卡洛(Monte Carlo)法,即随机模拟方法,运用随机过程来模拟真实系统的发展规律。这里采用Monte Carlo模拟技术其目的是获得具有Copula函数结构的多维随机序列。由Copula的定义可知,Copula函数可看作是具有边缘分布的多维随机变量的联合分布函数。不妨设Copula函数C(u1,u2,…,un;θ)是n维连续型随机变量的分布函数,c(x1,…,xn)为对应的密度函数,则

C(u1,u2,u3,…,un)=∫u0-∞∫u0-1-∞…∫un-∞c(x1,x2,…,xn)dx1dx2,…,dxn,ui∈[0,1],i=1,2,…,n。

设某随机向量取值于n维实数空间[0,1]n内一点H,选取包含点H的任意小邻域ΔRn,则随机向量在该邻域内的概率值不为零,即P(•)=cH(u1,u2,…,un;θ)ΔRn>0,其中cH(u1,u2,…,un;θ)为选定的Copula密度函数。问题关键是选择 维空间[0,1]n内的H点,使得cH(u1,u2,…,un;θ)>0。

模拟算法:(1)令G=n-1Cu1u2…un-1,或G=∫un0c(u1,u2,…,un-1,xn)dxn,它是关于u1,u2,…,un-1,un的函数;(2)在[0,1]区间内随机产生n-1个数u1,u2.…,un-1,将它代入函数G中,则该函数则是关于un的一元函数。(3)由c(u1,u2,…,un-1,xn)的非负性可知,则G是关于un单调递增的,在G(un)的值域[0,G(1)]内随机取一点y,若能反解出un=G-1(y), 则(u1,u2,u3,…,un)为满足某选定Copula函数的一点。如此循环计算,可以产生一组由某个Copula函数决定的随机序列{(u1j,u2j,u3j,…,unj),j=1,2,…}。

3 基于Copula-Monte Carlo的多个资产组合风险模型

在多个资产的投资组合风险分析中,需要模拟单个资产的边缘分布,描述各资产间的相依结构。针对金融数据的尖峰厚尾性,本文采用拟合度较高的非对称Laplace核密度估计来拟合单个资产收益率的边缘分布函数 。运用Archimean Copula函数描述资产间的相依结构。

3.1 Copula的选择及参数估计

Archimean Copula在建模中具有很好的性质:即高维的非对称性和厚尾性。在此初步选择如下三种Archimean Copula函数:

Frank Cθ(u1,u2,…,un)=-1θln1+∏ni=1(e-θuki-1)(e-θ-1)n-1,θ>0 (1)

Clayton Cθ(u1,u2,…,un)=(∑ni=1u-θi-n+1)-1θθ>0(2)

Gunbel Cθ(u1,u2,…,un)=exp-∑ni=1(-lnui)θ1θθ≥1(3)

利用各资产的历史数据需要选择最佳的Copula函数和估计参数 。首先采用非对称Laplace核密度估计拟合单资产的分布(边缘),从而获得一组边缘分布函数值:(u1i,u2i,u3i,…,uni),i=1,2,…,T,建立似然函数:

lk(θ)=∏Ti=1ck(u1i,u2i,…,uni;θ),k=1,2,3(4)

其中c(u1i,u2i,…,uni;θ)表示Copula的密度函数,T为选定的样本个数, 分别对应Copula函数(1),(2),(3)。建立获得最佳Copula函数C的准则:

C=maxklk(θ)

采用优化算法,数值计算maxklk(θ)。确定最佳的Copula函数,相应的就作为θ的估计量。当选定Copula函数后,通过第2节的Monte Carlo模拟算法生成随机收益率序列,由此计算VaR的值。

3.2 基于效用原理的最优投资组合

效用函数建立在消费者在消费中所获得的效用与所消费的商品组合之间的数量关系之上,可用来衡量消费者从消费既定的商品组合中所获得满足的程度。而在金融风险市场中,投资者根据自身对风险的偏好程度来决定分配到各资产的比例大小,本文通过综合考虑投资者对收益与风险的偏好,建立了二次型的效用函数,进而找出多资产的最优投资组合。

假设投资者的初始资产为W0,投资n种资产收益率为(r1,r2,…,rn),期末资产为W1=W0∑ni=1ci(1+ri)。则最优投资权重ci应该满足maxci∈[0,1]E(U(W0(∑ni=1ci(1+ri)))),选取效用函数U(W)=W-12yW2,y>0,其中r为风险指数,取样本均值为期望函数,则目标函数转化为:

max1T∑Tt=1(W0(1+∑ni=1cirti)-rW202(1+

2∑ni=1cirti+∑ni=1∑ni=1cicjrtirtj)

ci∈[0,1]

∑ni=1ci=1 i=1,2,…,n(5)

其中rti为t日资产i的收益率,求解此二次规划问题可得到最优投资比例ci,i=1,2,…,n。

3.3 算法描述

Step 1 随机选取同时间段内n只股票,日收益率定义为:

rit=(Pit-Pi(t-1))/Pi(t-1),t=1,2,…,T,i=1,2,…,n,pt为t日收盘价,;

Step 2 将历史收益率(r1t,r2t,r3t,…,rnt),t=1,2,…,T分别代入拟合的边际分布函数 中,得到序列(u1t,u2t,u3t,…,unt),t=1,2,…,T;

Step 3将第2步的计算结果分别代入式(1),(2),(3)中,数值计算:

maxklk(θ)=∏Ti=1ck(u1i,u2i,…,uni;θ),k=1,2,3确定最优的Copula函数C。

Step 4产生n-1个伪随机数vi~U(0,1),i=1,2,…,n-1;

Step 5 利用第2节所述,在函数G值域[0,G(1)]内,任取一点y,若能解出vn=G-1(y),则向量v=(v1,v2,…,vn)满足相应Copula分布。否则返回Step 4;

Step 6 求解ri=F-1i(vi),i=1,2,…,n,即可得到股票样本在将来某时刻的收益率r1,r2,…,rn。

Step 7 多次重复步骤4、5、6,产生一序列(r1k,r2k,…,rnk),k=1,2,…,5000,它是服从联合分布为选定Copula函数的n维随机序列。由此,根据期望效用原理及公式(5)便可得到最优投资权重及对应的VaR值。即最佳线性组合关系式:

zk=c1r1k+c2r2k+…+cnrnk

其中ci为 (待定的)组合权重系数,i=1,2,…,n,ci∈[0,1],∑ni=1ci=1,

4 实证分析

本文选取了3只股票,上海医药(代码600849),中国石化(代码600028)和东方电气(代码600875)作为研究对象,时间段为2007年1月4日至2007年12月28日,数据来自国泰君安网。为了准确刻画这三只股票间的相关性,对于交易日t时刻,经过预处理后,得到246组收益率r1t,r2t,r3t,(t=1,2,…,246)。首先通过样本数据估计各种分布函数的相关参数和确定三只股指的边缘分布;然后通过样本和极大似然法确定较好的copula函数和对应的参数θ,通过Monte Carlo模拟,预测出收益率数据,再根据期望效用原理得到最优投资组合系数c*i,i=1,2,3。以上计算使用spss和matlab软件编程实现。

4.1 样本分布及参数估计

样本数据的描述统计见表1。

表1 描述性统计

最小值最大值均值标准差skewnesskurtosisJ-B值P值中国石化-0.36160.10070.00400.0436-2.5222.892124.050.103上海医药-0.28260.28610.00410.0464-0.2514.021535.120.172东方电气-0.10010.31380.00650.04061.5115.761722.310.049从表1中可以看出收益率序列具有明显的尖峰厚尾特性,且Jarque-Bera统计量检验和对应p值均表明拒绝正态分布的假设。对此,我们对数据进行非参数核密度拟合边缘分布,记为 ,图1是对中石化的数据使用正态分布和核密度估计模拟的收益率序列的p-p图,可以直观地看出,核密度估计的拟合效果要优于正态分布,核估计能比正态分布更好地捕捉金融时间序列的尖峰厚尾特性。

图1 中国石化核分布估计(左)和正态分布p-p图(右)

4.2 Copula参数估计及VaR分析

用分步法估计Copula函数,首先利用已有的历史收益率对边缘分布建模,得到新的拟观测值序列(u1t,u2t,u3t),t=1,2,…,246,进而代入式(4)中,计算相应的似然函数值,由表2可知Clayton Copula拟合这组数据效果最好,同时大量实证表明证券市场符合Clayton函数所具有的下尾相关性,因此我们采用Clayton Copula作为刻画收益率间相关结构的Copula函数,其中参数=1.4125,即最优的Copula函数为:

C2(u1,u2,u3;θ)=(u-1.41251+u-1.41252+u-1.41253-2)-0.7079

表2 不同Copula极大似然函数值

FrankClaytonGumbel最大似然值0.81321.05470.9081θ0.41731.41251.5016选定Copula函数后,根据3.3节中算法描述的步骤4、5、6生成收益率列向量r1k,r2k,r3k,k=1,2,…,5000,它近似服从联合分布为Clayton Copula的随机样本,由这5000个样本,根据期望效用原理及公式(5),找出不同r和W0条件下的最优权重系数ci,i=1,2,3从而确定最优投资组合及VaR0.05,计算结果如表3所示。

表3 最优投资组合权重及VaR值

W0r东方电气(c1)上海医药(c2)VaR0.051.001.500.680.230.085243.502.00.770.160.082137.002.500.830.120.08361注: c3=1-c1-c2。

5 结论

(1)本文采用非参数核密度估计,较好地拟合了资产的边缘分布,并给出了结合连接函数Copula和Monte Carlo来模拟多个资产联合分布的方法,以此度量多个资产的风险,对金融市场中投资者提供了有效的参考工具。

(2)本文选择了二次型效用函数,还可以选用其他效应函数来表示投资者对于风险的喜好程度。此外,利用Copula函数进行二维资产分布研究已经趋于成熟,但对高维的情形研究不够成熟。依照本文中的方法,通过选择合适的Copula,可以进行高维的资产组合分析。同时,Copula函数本身所具有的许多优良统计特性,使其在金融领域中有着广泛的应用前景,也必然会成为金融计量和金融分析的强大工具。

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