三角形内接矩形的讨论

摘要：从三角形中如何裁得面积较大的矩形，是数学教材中一个提及但未深入讨论的问题，本文通过分析论证得出了如何从三角形中裁出面积最大的矩形：当内接矩形的一边为三角形的中位线时，内接矩形的面积最大。在限定内接矩形高的情况下，只有当三角形一边上的高等于内接矩形高的2倍，内接矩形的一边在这条边上时，所得到的内接矩形的面积最大。

关键词：三角形；矩形；面积最大；中位线

数学教学改革越来越要求数学与实际应用的联系，这是数学发展方向之一。本文所讨论的就是其中的一个问题――三角形内接矩形。

如图：三角形ABC是一块锐角三角形余料，BC=a，高AD=h，要把它加工成长方形零件，使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个长方形零件的边长是多少时，面积最大？

分析：由BC=a，高AD=h，那么三角形ABC的面积=0.5ah；四边形PQMN为ABC的内接矩形，它的面积随着点P在AB上的不同位置而变化。当点P与点A重合时，矩形退缩为一条直线，面积为零。当点P在线段AB上自点A向点B移动时，矩形PQMN的面积会由小变大，然后由大变小。所以当点P移动到某个位置时，矩形PQMN的面积一定能取到最大值。

当点P在边AB的什么位置时，面积取最大值呢？假设点P在如图的位置时，面积有最大值，为了确定点P，设PN=x，然后通过计算确定x应满足的条件。

证明：设PN=x，BC=a，AD=h，由APN∽ABC即又内接矩形PQMN的面积=PQ・PN

==（x－）2+

当x=时，矩形面积取到最大值。即当PN为三角形中位线时，面积最大，最大面积为三角形面积的一半。

结论一：当三角形内接矩形的一边为三角形的中位线时，内接矩形的面积最大，最大值为三角形面积的一半。

我们知道：周长相等的正方形、长方形，正方形的面积大于长方形的面积。对于三角形的内接矩形，是否当内接矩形为正方形时面积最大呢？根据上面的结论，能得到正确的答案吗？

事实上，不同的三角形内接矩形的存在情况是不同的。直角三角形中内接矩形有两种，锐角三角形内接矩形有三种，而钝角三角形只有一种。不论什么样的三角形，只有当它的内接矩形的一边为三角形的中位线时，内接矩形的面积最大，且最大值为三角形面积的一半。这时的内接矩形不一定为正方形。

问题似乎已经解决，我们应注意到：内接矩形的四边一定有一边落在三角形的某一边上，在锐角三角形的每一条边上都存在一个内接矩形。同一块三角形余料中，可以根据要求裁出三个不同的内接矩形，只要满足内接矩形的一边为三角形的中位线，面积都可以取到最大且相等，如果三角形的三边不相等，得到的三个内接矩形就会不全等，即三个内接矩形的长和宽各不相等，但面积的最大值相等。

在实际应用中，受现实条件的限制，常常有几种情况，但只有一种或两种符合条件。例如在上面的问题中要求内接矩形的高一定（是个常数），问题变为：如何从一块三角形余料中裁出高一定，面积较大的内接矩形？对于一个三条边长给定的三角形，三边上的高随之确定，当三角形内接矩形的一边（矩形的长）分别落在三角形的三边上时，所得到的三个内接矩形的面积也不相等，落在哪条边上时，内接矩形的面积较大呢？设ABC的底边BC=a，高AD=h，要求从该三角形中裁出矩形PQMN，且使矩形PQMN的高PQ=h0，当矩形的一边QM落在BC边上时，计算此时矩形的面积。设PN=x，DE=PQ= h0，则AE=AD-DE=h- h0，

由CPN∽CAB即，矩形PQMN的面积=PQ・PN=h0・PN

=h0・h02+h0c

=（h0－）2+

当h0=h/2时，矩形面积取到最大值。由h0=h/2得h=2h0，也就是当AB边上的高h为2h0（h0为矩形的高）时，矩形面积最大。

结论二：当限定矩形PQMN的高为h0时，三角形的三边哪条边上的高较接近2h0，则内接矩形的一边应该在这条边上，这时满足条件的内接矩形的面积较大。

我们通过一个简单的例子来说明：在直角三角形ACB中，AC=8，BC=6，斜边AB=10，AB边上的高CD=4.8，从这个直角三角形中截取一个高为2的内接矩形，应如何截取面积较大？我们分三种情况分别计算。

（1）内接矩形的一边落在边BC上，这时高PC=2在边AC上，AP=AC-PC=6，由APN～ACB，可得PN=4.5，内接矩形PCMN的面积=PC・PN=9.

（2）内接矩形的一边落在边AC上，这时高PC=2在边BC上，BP=BC-PC=6-2=4，由BPN∽BCA，可得PN=16/3，内接矩形PCMN的面积=PC・PN=32/3。

（3）内接矩形的一边落在斜边AB上，高PQ=2，CE=CD-DE=4.8-2=2.8由CPN∽CAB，可得PN=35/6，内接矩形PQMN的面积=PN・PQ=35/3。

可以看出高为2的内接矩形的一边落在斜边AB上时面积较大。这正是因为边长为8、6、10的三边上的高分别为6、8、4.8，内接矩形的高为2，内接矩形的高2与边长为10的边上的高4.8较接近，所以当内接矩形的一边落在斜边上时面积较大。这时它的面积为35/3，小于三角形ACB面积的一半12，即面积没有取到最大值。这也验证了上面得到的结论是正确的。

总之，对于一块三角形布料余料，根据现实的具体要求，采用不同的方法以达到充分利用的目的。从三角形中裁得面积最大的内接矩形与要求高一定的内接矩形的方法也不同，是不同的两个问题，希望读者能从文中得到启发，有所收益。