贝叶斯公式的分析与应用

摘 要：贝叶斯公式的应用一直以来都是一个难点，尤其是在寻找导致随机变量试验中某事件发生的原因上。本文对完备事件组、全概率公式做了简要分析，对贝叶斯公式做了详尽的说明，并且通过举例分析了对贝叶斯公式的运用。

关键词：全概率公式；完备事件组；贝叶斯公式

全概率公式给了我们一个实际计算某些事件概率的公式，只要一旦我们知道了在各事件发生条件下该事件发生的概率，则该事件的无条件概率可以从全概率公式求得，也就是说，只要知道了各种原因发生条件下该事件发生的概率（原因概率），该事件的无条件概率可通过全概率公式求得。反之，若已知各种原因概率，设在进行随机试验中某事件已经发生，在这条件下求各种原因发生的条件概率，这是概率论重要的研究课题之一。为了达到这个目的，我们经常把已经发生的事件看成是一个“结果”，把若干个不相容的简单事件看成是导致这一结果发生的不同原因，再通过计算这些简单事件的概率、这些事件发生条件下已经发生事件的概率及运用概率的加法、乘法和除法得到最终结果。贝叶斯公式就是这种思想方法的一个反映，它是概率的加法、乘法与除法的综合。

一、贝叶斯公式的分析

1.完备事件组

设实验E的样本空间为Ω，A1，A2，…，An为E的一组事件，若A1，A2，…，An两两互不相容，并且■=Ω则称A1，A2，…，An为试验E完备事件组。

2.全概率公式

设试验E的样本空间为Ω，如果A1，A2，…，An是Ω的一个完备事件组，且P（Ai）>0（i=1，2，…，n），则对于E的任一事件B，有P（B）=■P（Ai）P（B/Ai）。

注：全概率公式是将求复杂事件B的概率P（B）转化为求概率P（Ai）与P（B/Ai）（i=1，2，…，n）乘积的和。

3.贝叶斯公式解析

设事件为A1，A2，…，An试验E的完备事件组，对于任一事件B，如果P（B）>0，则有：P（B/Ai）=■=■（i=1，2，…，n）。

（1）首先要认识事件B是试验E的一个事件，且把事件B看成是一个“结果”。

（2）完备事件组A1，A2，…，An理解成导致这一结果发生的不同原因，P（Ai）（i=1，2，…，n）是各种原因发生的概率，通常在“结果”发生之前就已经明确的，有时可以从以往的经验中求得，因而称之为先验概率。

（3）贝叶斯公式是在“结果”B已经发生之后，再去考虑各种原因发生的概率P（B/Ai）（i=1，2，…，n）。

（4）该公式可以通过以下几个步骤：第一，由条件概率得P（B/Ai）=■；第二，分子通过乘法公式得P（AiB）=P（Ai）P（B/Ai）；第三，分母通过全概率公式得P（B）=■P（Ai）P（B/Ai）；将第二、第三的结果带入第一即得贝叶斯公式。

有时，我们把P（B/Ai）称为“原因”概率，而称P（Ai/B）为“事后”概率，从贝叶斯公式可看出：“事后”概率可通过一系列的“原因”概率求得。P（Ai）（i=1，2，…，n）是在不知道事件B是否发生的情况下各事件发生的概率，在知道B发生之后，对概率P（Ai/B）（i=1，2，…，n）就有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化。

二、贝叶斯公式运用

例：对以往数据的分析结果表明，当机器处于良好状态的时候，生产出来的产品合格率为90%，而当机器存在某些故障时，生产出来的产品合格率为30%，并且每天机器开动时，处于良好状态的概率为75%。已知某日生产出来的第一件产品为合格品，求此时该机器处于良好状态的概率。

分析：该试验是“机器生产产品”，已知试验结果为事件B“生产出来的第一件产品为合格品”，从题可知，影响该产品合格的原因有两个，分别记为A：“机器处于良好状态”，■：“机器存在某些故障”，记该试验样本空间为Ω，则有A∩■=φ，即A与■互不相容；于是A、■为一个完备事件组，可运用贝叶斯公式。

解：设A表示事件“机器处于良好状态”，■表示事件“机器存在某些故障”，B表示事件“生产出来的第一件产品是合格品”，则A、■是一个完备事件组，且P（A）=75%=0.75；P（■）=25%=0.25；P（B/A）=90%=0.9；P（B/A）=30%=0.3。

根据贝叶斯公式，有

P（A/B）=■=■

=■=0.9=90%

三、贝叶斯公式运用准则

通过对贝叶斯公式及公式运用的分析，可总结出下列准则：先已知“结果”已经发生，在结果发生之后去寻找导致该结果发生的所有原因，完备事件组A1，A2，…，An往往是随机试验中导致该结果发生的所有原因，这些原因及其发生的概率通常在“结果”发生之前就已经明确的。结果发生时，我们并不知道具体是哪个原因导致的，要求的就是在结果已经发生的前提下是某个原因（Ai）导致的概率。

参考文献：

[1]梁之舜.概率论与数理统计（上册）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]吴赣昌.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.