在圆锥曲线教学中培养学生创新意识探究

摘 要: 随着新课程改革在全国全面展开,在数学教学中如何培养学生的创新意识就显得特别重要。本文作者在圆锥曲线教学中,从抓基础、重阅读理解等四个方面对培养学生创新意识作了初步探讨,试图使圆锥曲线教学更适合新“课改”的理念。

关键词: 圆锥曲线 教学 培养 创新意识

创新意识是指人们根据社会和个体生活发展的需要,引起创造前所未有的事物或观念的动机,并在创造活动中表现出的意向、愿望和设想。

近几年的全国高考数学考试大纲提出,考试内容中能力要求之一是创新意识,即对新颖的信息、情境和设问,选择有效的方法和手段分析信息,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法,进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题。这对高中学生数学创新意识的培养提出了较高的要求。在圆锥曲线教学中如何培养高中生的数学创新意识呢?我从以下几方面进行探讨。

1.牢固掌握数学基础知识是培养学生数学创新意识的前提

所谓“推陈出新”是指有“陈”才有“新”。在数学教学中的“陈”很大一部分包括的是数学基础知识。

在近年的普通高中全国统一高考试题中基础题占80%,这体现了掌握基础知识的重要性,只有牢固掌握数学基础知识,才能对数学有较深的理解,在数学上有所创新。

案例1.已知椭圆C:+=1,直线l:y=ax+b。

(1)请你具体给出a,b的一组值,使直线l和椭圆C相交。

(2)直线和椭圆C相交时,a,b应满足什么关系?

(3)若a+b=1,试判定直线l和椭圆C的位置关系。

问题(1)是个开放题,此题设计使学生从形和数这两个角度思考后极易说出符合题意的的值(结果不唯一)。问题(1)让学生直观感受直线l和椭圆C相交的情形。

问题(2)则旨在让学生探求直线和椭圆相交时的一般情形,是对问题(1)的提升。

问题(3)的提出,是对问题(1)(2)的呼应。它可以从“直线l过定点(1,1)”的几何角度去解,也可以利用(2)的结果这个代数角度去解决。旨在引导学生领悟:处理直线和圆锥曲线的位置关系的方法,有代数方法与几何方法。

这3个问题是层层跃进,让学生“感受”了“从特殊到一般”再“从一般到特殊”的思维历程。在此过程中,有的学生开始思考,提出了下列问题。

变式一:已知a+b=1,直线l:y=ax+b和椭圆C:+=1交于A,B两点,?摇?摇?摇?摇?摇 ?摇(请你添加条件),求直线l的方程。

变式二:已知直线l:y=ax+b和椭圆C:+=1相切,若=(a+1,b+2)与=(1,k)共线,求k的取值范围。

此题涉及到的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、两直线互相垂直的充要条件、点到直线的距离,等等。只有掌握这些基础知识,学生的思维才能得到充分的锻炼。

2.提高学生数学阅读理解能力是培养学生创新意识的关键

学生有了较强的数学阅读理解能力,就能正确理解题意,也就能产生创新思维,创新能力得到培养。

案例2:(2009年高考北京理科卷,选择题第8题)点P在直线l:y=x-1上,若存在过P的直线交抛物线y=x于A,B两点,且 |PA|=|AB|,则称点P为“点”,那么下列结论中正确的是(A)

A.直线l上的所有点都是“点”

B.直线l上仅有有限个点是“点”

C.直线l上的所有点都不是“点”

D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”

此题主要考查学生对“点”的理解,考查了学生的阅读理解能力,学生的学习潜力,学生分析问题和解决问题的能力,培养了学生的创新能力。

3.在圆锥曲线的教学中注重学生信息迁移的训练

数学知识的信息迁移是培养学生创新意识的主要途径。

3.1概念的创新

根据抛物线通径的定义,可对圆锥曲线的通径定义如下:

通过圆锥曲线的焦点,引轴的垂线,交圆锥曲线于P、Q两点,则线段PQ叫圆锥曲线的通径。

此概念主要是抓住了抛物线通径定义中的过焦点,引轴的垂线进行的创新。

3.2性质的创新

如上定义,我们可得出椭圆的又一性质。

性质:过椭圆+=1(a>b>0)的焦点F垂直于长轴的直线l,l交椭圆于P、Q两点,过点P作关于直线l对称的直线l,l分别交椭圆于另外两点M、N,则直线MN平行于椭圆在Q点处的切线。

此性质是在圆锥曲线通径定义的基础上得出的,也是学生创新意识的体现。

4.在圆锥曲线的教学中结合学生生活实际培养学生数学创新意识

数学知识来源于生活,让学生从生活中去发现数学,体验数学,对数学知识加以创新,这是数学教育工作者的重任。

案例3:(以下是教师与学生关于圆锥曲线的一段对话)

师:你知道什么是圆锥曲线吗?

生:圆、椭圆、抛物线、双曲线是圆锥曲线。(也有人回答:到一个定点和一条定直线距离之比为定值的点的轨迹称为圆锥曲线。)

师:它们既然叫圆锥曲线,总应当与圆锥有关系吧。不然为什么叫做“圆锥”曲线而不叫“鸡蛋曲线”或者“正方体曲线”呢?

生:哦……想起来了,圆锥曲线可以由平面去截圆锥得出来。从不同的角度去截,分别得到圆,椭圆,抛物线,双曲线。

师:你面前的桌子上有一个茶杯,里面有水。请观察,水面的边缘是什么形状?

生:是圆。

师:请把茶杯端起来,稍微倾斜,现在水面的边缘是什么形状?

生:好像是椭圆。

师:真是椭圆吗?请说明理由。

生:这个杯子是圆柱形吗?

师:请自己观察。杯子的上下是一样粗吗?

生:不一样粗,而是上面粗下面细。不是圆柱,是圆台。……因此,水面的边缘不应该是椭圆,应当是一头尖一头平的曲线,像鸡蛋一样。……(感到奇怪)但是看起来怎么还是像椭圆呢?

师:只有上下一样粗的圆柱被平面截才能得到椭圆吗?你刚才不是说过椭圆也是圆锥曲线吗,能不能用平面截圆锥得到?

生:哦……将杯子侧面向下面延伸就是圆锥,所以水面边缘还是由平面截圆锥得到的,应当是椭圆。

师:很好!谢谢。

在以上对话中,学生对圆锥曲线的概念有了深刻的理解,并能在生活中正确运用,培养了创新能力。

在全国即将全面实施新教材,进行新课程改革的今天,培养学生的创新意识被提到了一定的高度,创新意识的培养也是数学“新课改”的要求。在圆锥曲线教学中注重创新意识的培养是教师不能忽视的问题。

参考文献:

[1]2009年普通高等学校招生全国统一考试大纲(数学(理))(必修+选修Ⅱ).

[2]2009年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理工农医类).

[3]王宏梅•蔡明星.圆锥曲线又一统一性质.数学通讯,2010,(02下),20.

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