着眼理解 注重推理

本章主要学习定义、命题、定理以及逆命题、互逆命题等概念，要求从基本事实出发，证明有关图形得出结论，这也是同学们能否学好几何的关键内容. 为了帮助同学们学好这一章，下面逐一剖析本章的三个难点.

难点一：原命题、逆命题的理解

一些命题的条件与结论很清晰，而它的逆命题也只要交换它的条件与结论的位置即可推出，但是，如果一些命题的条件和结论不清晰，同学们对条件与结论就认识不清，容易对学习造成一定的困扰.

例1 写出下列命题的逆命题：

①对顶角相等；

②等角的补角相等；

③互为相反数的两个数的和为零.

【分析】为了分清命题的条件与结论，可以把命题改写成“如果……，那么……”的形式，再把条件与结论的位置互换，即可得出逆命题.

改写原命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等；③如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零.

得出逆命题：①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（或相等的两个角是对顶角）；②如果两个角相等，那么这两个角是等角的补角；③如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数.

【点评】要写出原命题的逆命题，关键是分清原命题的条件与结论. 如果条件与结论不明显可以采用 “如果…，那么…”的形式来加以分析.

难点二：互逆命题的真假辨析

真、假命题的辨析关键是要充分理解一些定义、定理. 如平行线的性质与判断、三角形的外角与内角的关系等等. 而真、假命题的正确辨析则是判断互逆命题真假的重要依据. 命题④根据概念可知原命题、逆命题均为真命题. 故正确答案为A.

【点评】要判断一个命题是真命题，必须要进行证明，但若要判断一个命题是假命题，则只要举一个反例即可，此类题要求对题目中涉及的定义、概念能正确理解.

难点三：推理能力的培养

在了解了定义、定理的基础上，要完成证明的过程，还必须注重对推理能力的培养，同学们只有具备了一定的合情推理、演绎推理能力才能说学好了这个章节. 学习过程中推理能力的培养要遵循小步子、多层次的原则，按由易到难、由浅入深逐步进行.

（一） 因果逻辑的形成

数学来源于生活，服务于生活，因此我们在学习中应该关注一些生活中趣味性强的例子，来帮助我们打开因果逻辑的大门.

例3 有一天，某集市一珠宝店发生了一起盗窃案，经过了两个多月的侦查，查明作案人肯定是A、B、C、D中的一个，在审讯中，这四个人有这样的口供：

A说：“珠宝被盗的那天，我在别的城市. 所以，我不可能作案. ”

B说：“D是罪犯.”

C说：“B是罪犯，三天前我看见他在黑市上卖珠宝.”

D说：“B同我有仇，有意害我，我不是罪犯. ”

经过调查，这四个人中只有一个人说的是真话，你判断出罪犯是谁了吗？

【分析】B说D是罪犯，D说：我不是罪犯，可推理出B和D中有一个说了真话，因为A、B、C、D中只有一个说了真话，所以A、C都是错的，A说自己不是罪犯，所以，只能A是罪犯了.

【点评】通过简单生活中相关联的事例，让同学们对推理有一定的认识，明白原来推理是这么一回事，从而为下一步的深入学习打下感性认识. .

对于第③、④小题，参照第②小题的方法和结论，可得答案分别是180°的3倍、180°的6倍.

【点评】（1） 证明时要注意写完整该方法所必须满足的条件，不要漏写.

（2） 证明时往往需要通过添加辅助线构作辅助图形，把一个陌生的问题转化为熟悉的问题，借助新生成图形的性质及结论寻找到证明的途径. 一般来说，证明的方法和途径不是唯一的，辅助线的添加方法也是多样的.

例6 小明用如图7所示的方法画出了45°的角：作两条互相垂直的直线MN、PQ，点A、B分别为MN、PQ上任意一点，作∠OAB的角平分线交∠ABP的平分线的反向延长线于点C，则∠C就是所求的45°的角，你认为对吗？请给出证明.

【分析】此题的实质是求AOB的外角的角平分线与内角的角平分线的夹角∠C的度数. 用两次外角定理加角平分线定理：

【点评】在做此类证明时，不仅要学会从已知条件出发向结论探索，也要学会从结论出发向已知条件探索，或者从已知条件和结论两个方向相互逼近.

总之，证明的过程是一个在充分理解的基础上，综合应用各种方法进行推理、演绎的过程. 同学们要具有一定的想象能力，特别是在使用辅助手段中，要求同学们能够灵活处置.

（作者单位：江苏省无锡市江南中学）