一种新型变步长CMA盲均衡算法

摘 要： 针对传统固定步长CMA盲均衡算法中收敛速度和剩余误差这对矛盾，提出了一种新型变步长恒模盲均衡算法，即由瑞利分布函数实施对其步长的调节，通过调整该步长公式中的两个参数以加快收敛速度和减小剩余误差，并且在此基础上对该算法进行了改进。用4QAM信号，通过典型电话信道对固定步长的CMA算法，基于瑞利步长的CMA和改进后的CMA算法进行计算机仿真。通过对仿真出的算法收敛曲线以及输出星座图进行分析，最终得出在瑞利步长算法的基础上改进后的CMA算法克服了前两种算法的缺点，即具有收敛速度更快，剩余误差更小的优点。

关键词： 盲均衡CMA算法； 收敛速度； 剩余误差； 变步长； 瑞利分布

中图分类号： TN911.7?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）18?0056?04

A new variable step?size CMA blind equalization algorithm

ZHU Zhen?chao1， LIANG Guang?zhen2

（1. Jiangsu University of Science and Technology， Zhenjiang 212300， China； 2. No. 723 Insitute of CISC， Yangzhou 225001， China）

Abstract： A new variable step?size constant modulus algorithm （CMA） blind equalization algorithm based on the Rayleigh distribution has been proposed aiming at the slow convergence rates and residual error of the traditional CMA with fixed step?size. The convergence rate was accelerated and the residual error was reduced by regulating the two parameters in the step?size equation. On this basis， the algorithm was improved. Simulation tests with typical telephone channel using 4QAM are carried out. The simulation results indicate that the improved algorithm based on the Rayleigh distribution step?size CMA algorithm has higher convergence rate and lower residual error.

Keywords： CMA blind equalization algorithm； convergence rate； residual error； variable step?size； Rayleigh distribution

0 引 言

盲均衡技术[1]是一种不借助于训练序列，仅利用接收序列本身的先验信息来调节均衡器权系数，使其输出序列逼近发送序列的新型自适应均衡技术。盲均衡技术的核心是盲均衡算法。Godard和Triechiar提出了CMA盲均衡算法。在盲均衡算法中，CMA算法是使用最广泛的盲均衡算法。收敛速度和剩余均方误差是盲均衡算法的两个主要性能。在盲均衡算法中，开始阶段采用大步长，调整均衡器抽头系数的幅度就大，加快收敛，当抽头系数接近最优值时，抽头系数在最优值附近以较大的幅度抖动，因而有较大的剩余误差。如果步长较小，算法收敛速度就慢了，权系数接近最优值时候，将会在附近较小的范围内抖动，因而剩余误差较小。传统的CMA算法采用固定步长，只是在收敛速度和收敛精度方面做出折中处理，这大大制约了盲均衡算法的性能。因此针对固定步长算法的缺陷，本文提出一种基于瑞利分布的变步长的CMA算法。

1 CMA盲均衡算法的原理

CMA自适应盲均衡器的结构如图1所示。

图1 CMA自适应忙均衡器结构图

CMA算法是采用最陡梯度下降法来迭代均衡器的抽头系数，逐步寻找代价函数的最小值点，当代价函数达到最小时，均衡器的权值就基本稳定在最优值附近。

CMA的无记忆非线性函数如式（1）所示：

[x（n）=g（x（n））=x（n）x（n）[x（n）+RPx（n）-x（n）3]] （1）

[R]的定义为式（2），其是个常数：

[R2=E{x（n）4}E{x（n）2}] （2）

误差函数为式（3）：

[e（n）=x（n）[RP-x（n）2]] （3）

算法的代价函数为式（4）：

[J（n）=14E[（R2-x（n）2）2]] （4）

由于发射信号功率和均衡器输出信号功率是收敛的，所以选取以上代价函数。用随机梯度代替梯度期望值得到权系数迭代公式：

[W（n+1）=W（n）+μx（n）[RP-x（n）2]Y（n）] （5）

根据式（1）～式（5），将CMA算法进行计算机仿真，测试步长对算法收敛速度和收敛精度的影响。仿真条件：输入信号为4QAM调制方式，信噪比为20 dB，滤波器阶数为11，信道采用典型电话信道（6），步长分别为0.000 2，0.001和0.005，实验仿真次数为2 000次。

[H（z）=0.005+0.009Z-1-0.024Z-2+0.854Z-3- 0.218Z-4+0.049Z-5-0.016Z-6] （6）

仿真结果如图2所示。

图2 固定步长的CMA算法收敛曲线

由图2可以看出，随着步长u的增大，收敛速度增大的同时增大了稳态剩余误差。所以收敛速度和稳态剩余误差是一对矛盾，制约着CMA盲均衡算法的性能。

2 基于瑞利分布的CMA盲均衡算法

2.1 基于瑞利分布的变步长CMA算法原理

为了加快收敛速度的同时，降低均方误差，根据文献[2]中利用非线性函数控制步长的思想，借助式子：

[μ（n）=β{1-exp[-αe（n）]}] （7）

将步长[μ（n）]定义为瑞利分布函数形式：

[μ（n）=β{[e（n）α2]exp[-e（n）2（2α2）]}] （8）

误差函数为：

[e（n）=x（n）[RP-x（n）2]] （9）

权系数迭代公式：

[W（n+1）=W（n）+μ（n）e（n）Y（n）] （10）

2.2 性能分析

为了确定α和[β]对收敛性能的影响，根据表1中给出的参数组，绘出在不同[α]，[β]参数下，步长[μ（n）]与[e（n）]变化关系曲线，如图3所示（仿真图中的[a]即为[α]，[b]即为[β]，适用于以下所有仿真图）。

表1 [α]和[β]参数设置

从图3可以看出，当[e（n）α]时，，步长随着[e（n）]的增大而减小。从图3（a）得出，[β]固定，[α]越小，[μ（n）]随[e（n）]变化的越快。从图3（b）得出，[α]固定，[β]越大，曲线越陡，即[μ（n）]变化越快，且[μ（n）]最大值越大。

图3 步长[μ（n）]随[e（n）]变化的曲线

为了保证瑞利步长在[e（n）>α]时也能保持较大的步长加快收敛速度，对瑞利步长做一定的改进，使得不同的[e（n）]范围使用不同的步长更新式：[μ（n）=β{[e（n）α2]exp[-e（n）2（2α2）]}，e（n）

改进的步长使得在[e（n）>α]时也能维持一个较高的步长，算法初始阶段加快了收敛速度。将以上步长更新公式代入 ，即得到改进后的CMA算法。

2.3 改进步长的性能分析

从图4看出，新步长更新公式使得算法在初始阶段，误差较大时，也保持了较大步长，保证了高的收敛速度。

图4 新步长[μ（n）]随[e（n）]变化的曲线

3 计算机仿真及分析

3.1 不同[α]，[β]参数对改进算法收敛曲线的影响

输入信号为4QAM调制方式，信噪比为20 dB，滤波器阶数为11，信道仍然采用电话信道，实验仿真次数2 000次。仿真结果如图5所示。由图5（a）可以得出：[α]一定时，[β]越大收敛速度越快，稳态误差变化不大。图5（b）得出：[β]一定时，[α]减小，收敛速度降低，且当[α]小于0.2时，算法发散。由图5（b）可知，[α]大于1时，算法收敛速度也降低。所以[α]过大过小都会导致算法收敛速度降低。当[α]增大时，稳态误差减小。综合考虑收敛速度以及收敛精度，以下仿真取参数[α]=0.9，[β]=0.004。

图5 不同[α]，[β]参数对改进算法收敛曲线的影响

3.2 固定步长，瑞利步长以及改进后的瑞利步长下的 分析比较

三种算法的收敛曲线比较如下：

仿真环境：典型电话信道，输入信号为4QAM调制方式，信噪比为20 dB，滤波器阶数为11，实验仿真次数2 000次。本实验中变步长算法中参数取[α]=0.9，[β]=0.004，仿真结果如图6所示。

图6（a）是固定步长CMA，瑞利步长CMA以及改进后的瑞利CMA三种算法的收敛曲线图，图（b）是收敛曲线的放大图，由图可以得出改进后的CMA算法收敛速度和收敛精度都高于前两种算法。

3.3 算法星座图

仿真环境：典型电话信道。输入信号为4QAM调制方式，信噪比为20 dB，滤波器阶数为11，实验仿真次数2 000次。仿真结果如图7所示。图7（a）为接收信号星座图，图7（b）为均衡器输入信号星座图，图7 （c）为固定步长CMA算法输出星座图，图7 （d）为瑞利步长CMA算法输出星座图， 图7（e）为改进的瑞利步长CMA算法输出星座图。从图7可以看出，经过改进算法的均衡器均衡之后的输出星座图更加紧密集中，清晰，即改进算法取得了更好的均衡效果，具有更小的稳态误差。

4 结 语

本文提出的基于瑞利分布的变步长恒模盲均衡算法及其改进的变步长恒模算法解决了传统恒模算法中，由于采用固定步长而造成的算法收敛速度与收敛精度之间的矛盾，提高了CMA算法的性能。算法理论分析和计算机仿真结果显示在稳态误差一样的情况下，改进的算法具有更快的收敛速度。

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