牛顿牧场问题中的数学模型及应用

摘 要：从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点；用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程；求出模型的结果并讨论结果的意义，是求解模型的结果。本文先对牛吃草问题背景进行了解，并通过具体问题分析，体会数学建模的过程，树立建模思想，有效地解决了一些实际问题。

关键词：“牛吃草”问题；数学模型；函数；方程

《数学课程标准》指出：数学教学应让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握并发展应用数学知识的意识和能力。数学中的定义、概念、定理、公式等都是从现实世界中经过逐步抽象、概括而得到的数学模型，中学数学的学习、应用过程就是数学模型的学习过程。近年来，不少地区数学中考出现了以“牛吃草”问题为背景的试题，这类“化归――建模――问题解决”的应用性问题，有利于增强学生用数学的意识，提高分析问题、解决问题的能力。但许多考生因缺乏数学建模能力，对此类问题解答却不尽人意。为此，本文从数学建模角度加以分析，供大家参考。

一、问题提出

原型：12头公牛在4个星期内吃掉了3由格尔的牧草；21头公牛在9星期内吃掉10由格尔的牧草，问多少头公牛在18星期内吃掉24由格尔的牧草？（由格尔是古罗马的面积单位，1由格尔约等于2500平方米）

这是一道有趣的应用性问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的，称为“牛吃草”问题，又称为消长问题或牛顿牧场，属世界名题之一，具有培养学生分析问题能力和思维能力的功能，需要学生全面思考，深入挖掘，抓住问题的本质。

简化型：有一块牧场草地，长得一样密，一样快。若每头牛每天吃的草量相同，如果饲养27头牛，这些牛6天可以把草吃完；如果饲养23头牛，这些牛9天可以把草吃完；如果饲养21头牛，这些牛多少天可以把草吃完？

二、问题解决

1.理解问题背景

应用问题的解决，首先要正确理解题意。充分理解问题的背景，既是解答的起点，也是建模的关键。在这个问题中涉及的量有牛的头数、草地面积、牛吃草天数，而其中草地面积是一个变化的量，即牛每天在吃草，草则每天在生长，这是一个动态问题。一般来说，对于动态问题中的相等关系，可在发生变化的事物中来分析。如对于发生量变的事物，可以从量的方面来分析，一方面，牧场上的草会随时间的增加而不断生长；另一方面，每头牛吃的草量相等，且牛吃草的总量不会超过“牧场原有的草量”与“每天新生长的草量”之和，因而牧场中总的草量又会不断减少，直至被吃完。换一个角度看，即在草全部被吃完的时间内，牛吃的草量比生长的草量多，其差值就等于牧场原有的草量。掌握了这一点就等于抓住了事物的本质，找到了问题解决的切入点，这正是解决牛吃草问题的重要策略。

2.构建数学模型

解决实际应用问题，更重要的是思维模式的建立，它主要表现在对数学思想方法的构建上。构建数学模型是解决应用问题的一种重要的思考方法，其关键在于把实际问题抽象成数学问题。为此，首先要把题设中某些条件进行数学化，然后再寻找等量关系，根据等量关系建构函数或方程的模型等。

（1）模型1：函数模型

分析：以牛吃草的时间为x轴，牧场的草量为y轴建立平面直角坐标系（如图所示），可得函数模型（一）：

AB表示牧场的草量随时间变化的图象，OB表示21头牛吃草，草量随时间变化的图象。设每头牛每天吃草为m，21头牛把草吃完要z天，则DG表示21头牛6天吃的草量，即DG=21×6m；CG表示6天后牧场的草量，它与27头牛6天吃的草量相同，即CG=27×6m；CD=CG-DG=36m，同理FH=21×9m，故EH=23×9m，EF=EH-FH=18m，显然ΔBEF与ΔBCD相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：

此模型综合运用了函数和几何的有关知识，体现了数形结合的数学思想方法，生动地展现了数学知识间的内在联系，是综合运用数学知识解决问题的一种重要模式，有利于提高分析问题和解决问题的能力。另外，从形式上看，它减少了两个未知数，给运算带来了极大的方便，可减少解决问题中的思维障碍。

（2）模型2：方程模型

分析：设牧场原有草量为a，每头牛每天吃草量为x，牧场每天生长的青草量为y，21头牛z天可把牧场的草吃完，则有：

①6天生长的草为6y，9天生长的草为9y，z天生长的草为zy。

②27头牛6天吃的草为27×6x，23头牛9天吃的草为23×9x，21头牛z天吃的草为21×zx。

建模：这是一个动态问题，牧场草地在不断变化着，但不难发现，每天牛吃草总量不会超过牧场原有的草量与每天新生长的草量的和，而当牧场草被吃完时，存在如下等量关系：牛吃草的总量=牧场原有草量+牧场生长的总量。由此可建立方程组模型（二）：

27×6x=a+6y ①23×9x=a+9y ②21×zx=a+zy ③

由①②得：y=15x，由①③得：3x（7z一54）=（z-6）y，从而解得z=12。故饲养21头牛，12天可以把草吃完。值得注意的是，这里原草量a是一个辅助未知数，解题时将辅助未知数消去，从而求出原问题的解。

另外，考虑到每头牛每天吃的草量相等，也可以建立分式方程组的模型（三）：

此模型的特点是减少了一个未知数。

三、应用举例

此题是一道古代名题，不仅有趣，而且也具有一定挑战性；同时也具有较强的现实意义，其数学模型在实际生产、生活中有着广泛的应用。我们应关注问题解决的过程，仔细品味其解题策略和数学模型思想。通过变式创新，培养学生的数学建模能力，真正让学生经历数学模型的抽象和运用过程。

方程（组）模型是一种比较常见且简便的问题解决模型，针对大量情境变式、拓展问题更是如此，关键找出牛、草的生长速度等对应量，以及每次变化中的关联量，最后转化为“牛吃草问题”解决。

例1：山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间内流人池中的水量相同）不停地向池塘中流淌。现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完；若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完；若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好能把池塘中的水抽完？

分析：本题有一定的难度，池塘的水是一个变化的量，山泉不停地向池塘涌入，同时抽水机又在不断地抽水。但不难发现，抽水机抽的水量不会超过池塘原有的水量与山泉流量的和，这正是经典的“牛吃草”问题的本质所在。只要把题中山泉向池塘流淌的水视作牧场上生长的“草”，而把抽水机抽的水视作“牛吃的草”，运用上述数学模型思想即可解决问题。

设泉水每分钟流进池塘的水x平方米，每台抽水机每分钟抽水y平方米。池塘中原有的水量为a平方米，三台抽水机抽完池塘水需要t分钟，依题意得：

60y=a+60x2×20y=a+20x3ty=a+tx

解得t=12。所以，用三台A型抽水机同时抽，需要12分钟可把池中的水抽完。

例2：某市电信局现有600部已申请装机的固定电话尚待装机，此外每天还有新申请装机的电话也待装机。设每天新申请装机的固定电话部数相同，每个电话装机小组每天安装的固定电话部数也相同。若安排3个装机小组，恰好60天可将待装机固定电话装机完毕；若安排5个装机小组，恰好20天可将待装机固定电话装机完毕。（1）求每天新申请装机的固定电话部数；（2）如果要在5天内将待装机固定电话装机完毕，那么电信局至少需安排几个电话安装小组同时装机？

分析：由题设不难看出，电信局待装机部数是一个变量，同样可划归为“牛吃草”问题，故可设每天申请装机的固定电话有x部，每个电话装机小组每天装电话y部，要在5天内将待装机电话装机完毕，电信局至少要安排z个电话装机小组同时装机。根据题意可得：

3×60y=600+60x5×20y=600+20xz・5y≥600+5x

解得x=20，y=10，z≥14。

故：（1）每天新申请装的固定电话为20部；（2）电信局至少需要14个电话装机小组同时装机。

例3：在车站开始检票时，有a（a>0）名旅客在候车室进站。检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站。设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的。若开放一个检票口，则30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕。如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？

分析：此题是一个动态问题，旅客不断进站，每个检票口又有旅客检票上车，候车室的旅客人数是一个相对变化的量，还有检票口与检票的时间也在变动，涉及的未知量不少，但仔细思量，却会发现每分钟检票上车的人数不会超过候车室原有人数与新进站的人数的和。不难看出，这还是一个“牛吃草”的问题。这里每分钟新进站的人相当于牧场上每天新生长的草，而每分钟检票上车的人相当于每天“牛吃草”的量，检票口看作“牛”，候车室原有人数相当于“牧场上原有的草”，这样，运用上述模型思想即可获解。

解：设检票开始后，候车室每分钟新进站人数为x人，每个检票口每分钟检票人数为y人，在5分钟内旅客全部检票完毕，至少同时开放z个窗口。根据题意得：

30y=a+30x2×10y=a+10xz・5y≥a+5x

解得z≥3.5，即至少需同时开放4个检票口。

以上各例尽管问题提出的实际背景不同，解决问题用到数学基础知识也不尽相同，但解决问题的策略以及思想方法如出一辙，这完全得益于问题的共性――“牛吃草”问题的数学模型。此分析策略不仅结构严谨，思路清晰，而且具有通性，易于理解掌握。在分析问题时要善于联想，抓住问题的本质特征，进行化归。只要领悟“牛吃草”问题的数学模型思想，则可有效地解决一些实际问题。

（作者单位：浙江省建德市李家初中）