让微积分课堂教学“活”起来

【摘 要】基于目前微积分课堂不够活跃的现象，提出四点建议：一、充分展现微积分教学目的；二、让数学文化渗透到微积分教学；三、发挥信息技术在微积分教学中的辅助功能；四、学习方式多样化。

【关键词】微积分 课堂教学 活跃

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）27-0121-02

“你能给我找来一个数不清自己手指头的人么？”这句话恰好说明了数学的广泛性。数学是最纯然的知识，甚至可以说它是一个时性的标志。而专门研究函数和变量的微积分则是划时代的数学成就，它也是我们经管类专业的公共必修课程。

现代的微积分教学较之传统，在教学内容、教学方法、教学手段等方面有了较大的转变，也取得了一定的成效。但数学知识的系统性、逻辑性、严密性、抽象性仍然使学生们“谈微色变”，反映到微积分课堂上就是气氛不够“活”甚至“活”不起来。究其原因还是学生们对微积分的兴趣不够。所以，如何提升学习兴趣让微积分教学“活”起来，显得尤为迫切。下面笔者结合前人的探讨和自身多年从教的经验谈一些想法，提出四条建议。

一 充分展现微积分教学目的

经管类专业的学生大部分认为开设微积分课程就是为了以后的专业课学习打好基础，诚然，大学非数学专业微积分的学习确实有这样的目的，但数学的效用不仅仅如此。正如弗朗西斯・培根所说：“在数学上，我没什么缺憾可报告，除了一点之外，这就是：人们并没有充分理解纯数学的妙用。”在微积分教学中，我们还应培养学生有意识地不仅要把数学作为计算工具，更应以发展数学能力为重，能把数学的思维方式应用到其他学科乃至实际生活中。比如微积分中的极限思想，贯穿于微积分课程始终，其中所体现的过程与结果、有限与无限、直与曲、不变与变之间的对立统一思维能让我们辩证地去看待问题；又如曲线围成的平面面积、曲面围成的立体体积的计算问题，其中的整体细划为部分，由近似再到精确的转化、化归思维；微积分中无处不在的分析归纳再论证思维、导数与微分中的逆向思维、类比一元函数微积分学习多元函数的比较思维，等等，这些都隐含在微积分知识学习的背后，需要教师在教学中引导学生有意识地挖掘，真正领悟数学的本质，体会学习数学的乐趣，从而形成自己的数学思维。

罗巴切夫斯基曾说过：“任何数学分支，不管多么抽象，有朝一日都要应用于真实世界的现象”，要体会数学的魅力还必须把数学思维迁移到其他学科的学习直至实际问题的解决。比如数学建模在其中就担当了重要角色，它通过把实际问题从数学角度加以分析、解答，让学生近距离地体会数学的妙用。而建立微分方程就是一种数学建模方法。教学中应适当引入相关例子，激发学生的好奇心和求知欲，让学生明确日后受益更多的可能首先是所积累的数学思维方式，而后是具体的数学知识。在崇尚科学的时代，微积分不应充当把学生淘汰出通向科学领域的“过滤器”，而应成为鼓励学生学习科学的“助推器”。

二 让数学文化渗透到微积分教学

数学虽然是理性的科学，但它也需要感性认知的加入。日本心理学研究者三浦致世认为，感性是指基于具有多种含义和复杂特征的信息，通过印象评价、综合把握等形式，对状况进行整体的直觉判断的能力。故而，数学知识的内化需要有数学文化的牵引。

数学文化即数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展，还包括数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展史中的人文成分和数学与其他各种文化的关系等。在教学中，适时给学生介绍微分和积分的起源与发展，穿插数学人物的成长与发展历程、艰辛的知识发现及证明过程和其中所体现出的锲而不舍的研究精神、严谨的思维方式等，比如对微积分的理论基础极限的定义就经历了从形式直观、语言模糊到精确、严谨、简约的“ε-N”，“ε-δ”的语言过程。在讲无穷级数时，就可插入牛顿―莱布尼兹、伯努利兄弟对无穷级数的情有独钟；还可简略向学生介绍欧拉在求完全平方数的倒数之和1/12+1/22+1/32+…时大胆的想象到再证明的过程。数学也有其艺术性，表现在它的简单美、对称美、统一美、奇异美。很多实际问题模型化成数学问题后，就会变得简洁明了，数学符号语言本身也体现了简单美，数学中不管是形式上的还是图形上的对称更是比比皆是。

让学生在学习微积分的同时通过数学文化的适时渗透，了解什么是微积分，微积分做了什么等问题，有助于激发学生学习微积分的兴趣，活跃课堂气氛。

三 发挥信息技术在微积分教学中的辅助功能

信息技术有助于呈现思想、沟通并支持推理和计算，而且“执行一个过程不再一定需要人类参与，学习符号不再像过去那样只是少数人的特权”，使得微积分学习从枯燥、抽象走向生动、形象。

美国微积分教材改革遵循“四原则”，每个概念以几何、文字描述和代数形式呈现，对于微积分的主要概念如极限、导数、积分的介绍，除了概念本身的文字叙述和符号语言描述，“形”的展现也很必要。教师可以借助信息技术可视化优势给学生带来交互性和动态性的体验。如极限的“ε-N”定义，引入实例时通过对ε的不同赋值，用数学软件制作相应的图形，从动态演示中让学生产生感性认识，进而总结规律，归纳极限定义。再如用“元素法”求面积、体积可通过软件制图功能让学生对无限分割有一种逼近感，更好地从数、形结合中去理解极限与积分的关系。常见的数学软件如Matlab、Mathematica、Maple、MathCAD、几何画板等既能绘制数学图形也能完成数值符号运算。对于经管类专业的学生而言，要使微积分显得易接近，应用更重于计算，故而微积分很多计算如求积分、求解微分方程等都可借助于数学软件，通过简单的口令输入就可求得结果，这样让学生把更多的精力放在数学实际应用上。

此外，随着人们对“互联网+”信息观念的深入认同以及现代智能设备的发展，微积分教学设计和教学媒体在这方面也应有所突破，除了现行的网络平台，如WolframAlpha、试题库系统、精品课程网等外，制作跨媒体教材、手机APP等使学习不受时空界限的束缚，实现课内课外、线上线下、校内校外随时随地非线性学习，真正打通书本世界、现实世界和网络世界的联系。

四 学习方式多样化

现在的微积分学习方式非常单一，主要以听、练为主，本质上还是一种模仿，这就导致了相当多的学生持记忆知识的学习观，甚至在运用微积分知识解决问题时一旦离开课本就无从下手。当代建构主义认为“课本知识只是一种关于各种现象的较为可靠的假设，不是解释现实的‘模板’”，而学习是“学生建构自己知识的过程”，并不是简单的信息输入、存储和提取，应是“同化和顺应”，即一方面理解、记忆新知识，在分析的基础上形成自己的思想，一方面对既有知识、经验进行改造。因此，微积分学习方式要体现学生的主体地位。对于一些难以理解的概念、定理可采取如研究性学习、基于问题的学习、合作学习等共同学习方式，以加强沟通交流、发挥团队优势，充分调动学习的积极性，完成知识建构。

比如极限概念，不仅其丰富性、抽象性影响了学生对概念的掌握，而且在未学概念之前学生对日常生活用语“趋向”“极限”的理解也会影响极限数学含义的学习。大部分学生会求极限但不代表他理解了极限，此时可提出问题：“ =1吗？”基于问题让学生进行探究、合作讨论，老师适当加以引导，从而更好地帮助学生理解极限中所包含的无限思想。又如对微分与积分关系的理解，大部分学生会求微分、积分，但很少探索它们互逆的运算关系，故而可通过分组讨论的方式，以PPT、小论文、口述性语言等方式呈现讨论结果。

除了以上几点，同时还需要教师提高自身的学术威信和人格魅力，形成个人教学风格，也需要学校其他工作人员的共同努力，促使学生形成良好的学风。总的来说，影响微积分课堂教学效果的因素是多方面的，促发学生的学习动机，增进学习兴趣，从而让课堂“活”起来是重要的方面，值得我们继续深入探讨。

参考文献

[1]朱宝荣主编.应用心理学（第二版）[M].北京：清华大学出版社，2009

[2]吴赣昌主编.微积分（经管类）[M].北京：中国人民大学出版社，2009

[3]袁缘.数学文化与人类文明[D].吉林大学，2013

[4]高尧来、王世龙.美国微积分教学改革及其启示[J].理工高教研究，2007（3）

[5]黄宽娜、刘徽、李木华.基于信息技术的高等数学实验教学模式研究[J].西南师范大学学报，2011（2）

[6]汤岩、任永泰、葛慧玲.关于提高大学公共数学课堂教学有效性的几点思考[J].大学教育，2013（7）