浅议数形结合在中学数学教学中的应用

【摘 要】 数形结合思想作为一种重要的数学思想在中学数学中有着广泛的应用，恰当地运用数形结合思想可以使我们在解决数学问题的过程中化难为易，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，轻松地找到解决问题的金钥匙。

【关键词】 数形结合；中学数学；应用

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学(恩格斯语)。。数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面，借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感；另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论。“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，还大大开拓了我们解题的思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想， 它是将知识转化为能力的“桥” 。 而课堂中多媒体的应用更加有利于体现 数形结合的数学思想方法，有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，为学生创设愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学。

一、 “数”“形”结合是推动数学发展的动力

（1）“数”产生于各种“形”的计算， “数”又借助于“形”得以记录，使用，计算。解决“形”的问题可使用“数”作为工具，而“数”的关系可以用“形”来证明。 例如解析几何中几何问题的代数化，就是用代数方法解决几何问题，如关于直线斜率， 关于距离，关于线段定比分点等等。“解析几何”这个名词本身就意味着“解析方法”与“几何方法”的结合，而正是这种结合开创了数学的新局面。

（2）对“形”的相互关系的比较，度量，促进了“数”的概念的发展，丰富了计算方法。 典型例子是无理数 的发现:正方形的边长与其对角线的长度之间不存在公度线段，即不存在一条线段 a ，用它去量一个正方形的边长及其对角线的长都正好得到整数倍，由此导致无理数的发现。一些代数恒等式也可由几何方法给出证明，例如，利用下图，可以导出代数恒等式

（a+b）2=a2+2ab+b2

二、数形结合在教学中的运用

“数无形时不直观， 形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系， 数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。数形结合渗透在中学数学的每个部分，根据数形结合的观点，可以通过对数量关系的讨论来研究图形的性质， 也可利用图形的性质来反映变量之间的相互关系， 因此数形结合可以使数和形相互启发， 相互补充，相互印证。为了培养学生形成数形结合的思维习惯，在初一代数教学中就有意识地渗透数形结合的思想和方法。 在《有理数》一章中，数轴就是把数和形结合在一起的内容。这样，在讨论相反数， 绝对值，倒数的几何意义时，形象易记。

如：相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数。零的相反数是它本身即原点。如图：

绝对值表示这个数的点与原点的距离。利用数轴可以准确、快速地确定结论，在下图中，A点到原点的距离比B点到原点的距离大。

三、数形结合在解题中的运用

在中学数学中，数形结合思想的应用主要包含两方面的内容：一是运用代数、三角知识，运用数量关系的讨论去处理几何图形的问题。 二是运用几何知识，通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题，以下我们将通过实际的案例分析来展示数形结合思想在中学数学中的广泛应用。

1.“数”中寻“形”

例1：计算19971996×19961997-19971997×19961996

分析：构造如图所示的矩形ABCD和EFCG，由图可知，该问题即是求矩形ABCD和EFCG的面积之差。

故原式=矩形ABCD的面积-矩形EFCG的面积

=矩形AHGD的面积-矩形EFBH的面积

=19971996×1-19961996×1

=10000。

例2： 已知：a，b，c为正实数。求证:

分析 由欲证不等式中的 联想到勾股定理， 把看作边长分别为a，b的矩形的对角线，因此，我们可以构造如图所示的图形。

以a+b+c为边构成正方形ABCD， 则

而 AC＜AE+EF+FC＜AD+CD所以有

＜++＜。

注:观察、联想是构造图行，创新解题的关键。

例3：甲、乙、丙、丁和小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比一盘，到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，问小强已经赛了几盘？

分析：我们可以用5个点表示甲、乙、丙、丁和小强这五位同学，如果两个人已经塞过一盘，就在两个点之间连一条线段。显然，因甲与其他四个人都各赛1盘，所以图中甲与其他四个点都各连上一条线段。丁仅赛1盘，所以除了已与甲相连的一条线段外，不能与其他各点相连。乙连3条线段，除了不与丁相连外，与其他3个点各连一条线段，丙连2条线段，即与甲乙相连，而不与其他点相连。于是得到如图所示，由图可知小强只与甲乙两点相连，故小强已经赛了两盘。

2.“形”中觅“数”

例4：方程lgx+x-3=0，10x+x-3=0的解分别是x1,x2，求x1,x2

解：求上方程的解比较困难，方程10x+x-3=0的解，可理解为函数y=10x与y=-x+3的交点（B点）横坐标，方程lgx+x-3=0的解为函数y=lgx与y=-x+3的交点（A点）的横坐标，函数y=10x与y=lgx的图象关于直线y=x对称， A、B关于直线y=x对称，直线y=x与y=-x+3的交点为C点，所以A、B点关于C点对称，C点横坐标是，所以

例5：已知ABC三顶点是A（4，1），B（7，5），C（-4，7），求∠A的平分线AD的长。

解法：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点A，B，C，画出ABC的边及其∠A的平分线AD。（如图）

第二步，观察图形，挖掘图形的特性（一般性或特殊性），通过数量关系证明（肯定或否定）观察、挖掘出来的特性。特性有：

（1），（2）∠BAD=∠CAD=45°，

（3），（4）∠ABC=2∠ACB=60°，等等。

证明 A（4，1），B（7，5），C（-4，7）

第三步，充分利用图形的属性，创造性地数形结合，完成解题。过点D作，交AB于点E，则有BDE∽BCA或等等。又在RtADE中

（可以口答出）。

以上通过理论的阐述和实际的案例分析，生动地展示了数形结合思想的魅力。 在中学数学教学中恰当地运用数形结合思想可以很方便地巧妙解决问题。 在教学过程中渗透数形结合思想对培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，具有十分重要的意义。

参考文献：

[1]钱玲，邵华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999.P3

[2]赵振威，章士藻.中学数学教材法[M].上海：华东师范大学出版社，2000，P44-45.P159

[3]李永新，曾铮.中学数学教材法[M].吉林：东北师范大学出版社，2005，P55

[4] 章士藻.数学教育研究导论[M].北京：中国科学技术出版社出版， 2000

[5] 李莉，李永杰.中学代数研究与教学[M].郑州：郑州大学出版社，2007，P150-P151

[6] 尉占斌.数形结合思想在数学解题中的应用[J].甘肃教育，2008，6(A）：51-53

[7] 高信.赵永飞.例谈运用数形结合思想解题[J].新课程研究(基础教育)，2008，1， 131-132

[8] 潘辉荣.浅谈数形结合在解题中的应用[J].科学时代(综合版)，2007，9，: 69-70