时间：2022-06-13 01:50:49
高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变. 若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况．
设a，b是欧氏空间的两向量，且a=（x1，x2，…，xn），b=（y1，y2，…，yn）（xi，yi∈R，i=1，…，n）
规定a・b=（x1，x2，…，xn）・（y1，y2，…，yn）=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.
（注：a・b可记为（a，b），表示两向量的内积），有
由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式．
一、利用向量模的和与和向量的模的不等式（即
例1设a，b，c∈R+，求证：（a+b+c）≤++≤.
证明：先证左边，设m=（a，b），n=（b，c），p=（c，a），
则由
综上，原不等式成立．
点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边．
二、利用数量积不等式（即a・b≤
例2设a1，a2…，an及b1，b2，…，bn为任意实数，求证：
（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）.
当且仅当==…=时等号成立. （柯西不等式）
证明：令m=（a1，a2，…，an），n=（b1，b2，…，bn），
由于m・n≤
aibi≤・.
即（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）.
等号成立当且仅当m与n共线，即==…=.
点评：由此可以发现柯西不等式所能证明的不等式都可以通过构造向量来证明．
例3（1986年全国高中数学竞赛题）在ABC中，外接圆的半径R=1，面积SABC=. 求证：++
证明：SABC=absinC=ab・=abc=，故abc=1，则只需证++
当且仅当m与n共线，等号成立，即a=b=c=，与SABC=矛盾．
故++
点评：不等号的方向可以给我们构造向量指明方向．
例4设n是大于1的自然数，求证：
+2+…+n・
证明：令p＝（1，2，…，n），q＝（，，…，）.
左边=p・q，由p・q≤
=・. 只需证加强命题・
当n≥4时，上式显然成立．
验证n=2，n=3时，原不等式也成立．
综上，i
点评：不等式的左边使我们想到了两向量的数量积形式．
例5（第24届全苏奥林匹克竞赛题）设ai>0（i=1，2，…n），满足ai=1. 求证：
・（a1+a2+a2+a3+…+an+a1）
故++…+≥.
点评：（1）不等号的方向使不等式的左边应为向量模的乘积的形式，再结合右边的常数及已知和为常数可得证；
（2）此题还有其他的证法，例如可以用平均值不等式．
例6（2002年全国女子竞赛题）设p1，p2，…，pn是1，2，…，n的任意排列． 求证：
即++…+≥≥>=.
综上++…++>.
点评：由不等号的方向和左边分母的和为定值联想到构造向量．
例7（26届莫斯科奥林匹克竞赛题）若a，b，c∈R+，证明：++≥.
证明：令m=
故++≥．
由（a+b+c）2≥3（ab＋bc＋ca）可得
++≥．
点评：（1）该题在构造向量时，与以上诸题有所不同；
（2）该题可推广为，设a，b，c为三角形的三边长，且λ>0，λ≥μ>0，则≤＋＋
参考文献
（1）李胜宏著． 《平均值不等式与柯西不等式》． 华东师范大学出版社，2005年.
（2）李铁烽． 构造向量证三元分式不等式． 数学通报．2004年2月.
（3）沈文选、张、冷岗松著． 《奥赛经典》． 湖南师范大学出版社． 2004年.