例说“长方形面积”在数学中的妙用

数和形是数学的两个基本概念，全部数学可以说就是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而逐步展开的. 数与形之间的关系反映事物两个方面的属性，而数形之间的结合，是指数与形之间的对应关系. 数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，起到优化解题途径的目的. 将非面积的问题转化成平面图形面积的方法去解决问题，是数形结合的有力体现，是一种新颖别致、行之有效的解题方法.

一、“面积”求解应用题

例１ 体育场内有一块长２０米、宽１０米的长方形场地，整块场地被分隔成１米宽的逐渐向场地中心回绕的跑道，如图１. 问：从场地入口沿跑道中心线跑到终点要跑多少米？

解析 如果逐段求长，较为麻烦. 揣摸题意发现：人每走一米，他所走的跑道恰好被一单位正方形所覆盖，并且在拐角处也是如此. 所以，长方形场地的面积数值就是全程需要跑的距离，即２０ × １０ ＝ ２００（米）.

例２ 一人骑自行车从甲地到乙地，如果每小时行１０千米，则下午１时到达；如果每小时行１５千米，则上午１１时到达. 现在要求中午１２ 时到达，他每小时要行多少千米？

解析 用长方形的边分别表示速度和时间，那么长方形的面积值表示的就是相应的路程值. 图２中，长方形ＡＢＣＤ和ＡＥＦＧ的面积都表示甲、乙两地间的路程，它们的面积相等，两个阴影部分的面积也相等，则能较容易地列式求解. 如图２所示，则１０ × ２ ÷ （１５ － １０） ＝ ４（小时），１５ × ４ ÷ （４ ＋ １） ＝ １２（千米），所以，他每小时要行１２千米.

例３ 一个筑路队原计划２０天修完一条公路，实际每天比原计划多修４５米，提前５天完成任务. 原计划每天修路多少米？

解析 以长方形的一边表示每天的工作量，另一边表示工作时间，那么相应长方形的面积表示总工作量. 因为工作总量是一定的，所以在原计划和实际所表示的两个长方形中去掉公共部分的长方形后余下的两个长方形的面积相等，由此可求得原计划每天修路多少米. 如图3所示， ４５ × （２０ － ５） ÷ ５ ＝ １３５（米）.

例４ 五年级一班举行一次数学竞赛，共１５道题，每做对一题得１０分，做错一题倒扣４分. 李丽１５道题全做了，但只得了９４分，她做对了几道题？

解析 以长方形的一边表示做对或做错的题数，另一边表示每道对题或错题的分数，那么相应长方形的面积表示做对或做错的题的总分数，如图4所示. 这样，就可知道面积Ａ－面积Ｂ ＝ ９４，且（Ａ ＋ Ｃ） － （Ｂ ＋ Ｃ） ＝ ９４（分）. 而Ｂ ＋ Ｃ ＝ ４ × １５ ＝ ６０（分），从而Ａ ＋ Ｃ ＝ ９４ ＋ ６０ ＝ １５４（分），Ａ ＋ Ｃ所组成的长方形宽是１４，则长为１５４ ÷ １４ ＝ １１，即为做对题数.

二、“面积”求解计算题

例５ 计算：（１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） － （１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■）.

解析 把每一个因数都看作长方形的长或宽，那么两个乘积就对应两个长方形的面积，算式中所求的差就是两个长方形的面积之差，如图5.

长方形ＡＣＤＥ的面积 ＝ （１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■），长方形ＦＭＮＥ的面积 ＝ （１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■），长方形ＢＣＨＧ的面积 ＝ 长方形ＨＭＮＤ的面积 ＝ ■ × （■ ＋ ■ ＋ ■），则（１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） － （１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■）

＝ 长方形ＡＣＤＥ的面积－长方形ＦＭＮＥ的面积

＝ 长方形ＡＣＨＦ的面积－长方形ＨＭＮＤ的面积

＝ （长方形ＡＢＧＦ的面积＋长方形ＢＣＨＧ的面积） － 长方形ＨＭＮＤ的面积

＝ 长方形ＡＢＧＦ的面积（阴影部分）

＝ １ × ■＝ ■.

例６ 计算：■.

解析 算式可变形为■，这样，分子就可看作两个长方形面积之差，分母可看作两个长方形面积之和，根据分子与分母所表示的面积大小，便能算出分数的值，如图6.

１９９７ × １９９８ － １

＝ １９９７ × １９９８ － １ × １

＝ 长方形ＡＣＤＦ的面积－正方形ＢＣＭＨ的面积

＝ 六边形ＡＢＨＭＤＦ的面积，

１９９７ ＋ １９９６ × １９９８

＝ １９９７ × １ ＋ １９９６ × １９９８

＝ 长方形ＡＢＨＧ的面积 ＋ 长方形ＧＭＤＦ的面积

＝ 六边形ＡＢＨＭＤＦ的面积，

所以，■ ＝ １.

三、结 论

由此可见，运用长方形面积解题的关键在于构造图形和解读图形. 构造结构恰当的图形，可以使要解决的问题形象化、直观化，把抽象的数学语言转化为直观的图形，通过求解图形的面积达到求解的效果. 但是，它不是万能的，它只是解决部分问题，而不是全部问题，所以我们不能寄希望通过这种方法解决所有数学问题. 作为教师，在平时教学中如何有意识地去渗透数学思想，如何根据学习内容和学生实际尝试渗透，让学生在训练中感悟数学思想，丰富思维活动，提高思维能力，是我们每个教师需要经常思考的问题.