巧用七招 突破最值

最值问题一直是高考数学中的一个热点，几乎年年都有所涉及. 在解题的过程中，我们不难发现求最大（小）值问题，绝大多数都可转化为不等式问题.本文总结出了解决最值问题的七个常用模型，并以2011年高考题为例加以分析，希望对同学们有所帮助.

第一招： 运用“x2≥0”模型

对任意的x∈R，有x2≥0恒成立，运用x2≥0等号成立的条件，可解决二次型的最值问题，但同时要区分在闭区间的最值问题.

例1 （天津文科卷）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则■+3■的最小值为 .

分析 画出梯形，建立直角坐标系，将向量问题坐标化，从而转化为二次型的最值问题，利用配方法，结合模型“x2≥0”即可解决.

解 以直角梯形的D点为坐标原点，DA边所在直线为x轴，DC边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设C（0，c），P（0，x），则A（2，0），B（1，c），

■=（2，-x），■=（1，c-x），

■+3■=|（5，3c-4x）|=■≥5，即其最小值为5.

点评 将向量问题坐标化，可利用解析法来解决.

第二招： 运用“Δ≥0”模型

此法是构造一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），运用“x∈R，Δ=b2-4ac≥0”求函数的最值.

例2 （浙江卷）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是 .

分析 构造一元二次方程，利用判别式来解决.

解 设2x+y=t，则y=t-2x，代入4x2+y2+xy=1中得

6x2-3tx+t2-1=0.

将上式看做一个关于x的二次方程，则由判别式大于等于0，可得

Δ=（3t）2-4×6×（t2-1）≥0.

解之得-■≤t≤■，所以2x+y的最大值为■.

故填■.

评注 对于二元最值问题，利用判别式法来解是不错的选择.

第三招： 运用“│sinx│≤1，│cosx│≤1”模型

此法主要用于求三角函数或可转化为三角函数的最值问题. 其解法是先化为关于正、余弦函数的一次或二次式，再利用有界性即│sinx│≤1或│cosx│≤1来完成.

例3 （上海卷）函数y=sin（■+x）cos（■-x）的最大值为 .

分析 先化为y=Asin（ωx+φ）+k型，再利用│sinx│≤1来求最值.

解 将原函数解析式展开，得

y=cosxcos（■-x）=■cos2x+■cosxsinx=■（1+cos2x）+■sin2x

=■+■sin（2x+■）.

当sin（2x+■）=1时，ymax=■. 故填■.

点评 本题先用和差角公式展开，再用降幂公式，化为一次式，利用正、余函数的有界性来解决.

第四招： 运用“a，b∈R+，a+b≥2■”模型

利用二元均值不等式求最值时，应注意遵循条件“一正二定三相等”.

例4 （重庆卷）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=■+■的最小值是（ ）

A. ■ B. 4 C. ■ D. 5

分析 直接运用均值不等式，只能求ab的最值，而无法求■+■的最值. 这时可逆用条件，即1=■，将■+■乘以1，展开即可解决.

解 由a＞0，b＞0，a+b=2，则

y=■+■=（■+■）（■）=■（1+■+■+4）≥■（5+2■），

则y≥■. 故选C.

第五招： 运用“f（x）≥f（a）或f（x）≤f（b）”模型

如果较易判定所给的函数在定义域内或指定区间内是单调函数，这类最值问题就可通过单调性等，得到“f（x）≤f（a）或f（x）≥f（b）”的通用模型，用等号成立条件而获解，但应注意须先证明，再运用.

例5 （湖南卷）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）

A.1 B. ■

C. ■ D. ■

分析 求|MN|达到最小值，寻找一个关于x的函数式，再利用函数的单调性来解决.

解 由题意画出函数的图象如右，则有|MN|=x2-lnx（x>0）.

不妨构造函数h（x）=x2-lnx，则

h′（x）=2x-■.

令h′（x）=0，解得x=■.

因为当x∈（0，■）时，h′（x）

当x∈（■，+∞）时，h′（x）>0，则h（x）是增函数；

所以h（x）≥h（■），

所以当x=■时，h（x）取最小值，即|MN|达到最小，此时t=■.

故选D.

点评 本题涉及到对数型函数的最值问题，利用导数法判断出单调性即可简捷地解决，但同时要注意极值与最值的区别.

第六招： 运用“||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|”模型

使用不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|求最值时，应注意等号成立的条件.

例6 （陕西卷）若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，则实数a的取值范围是 .

分析 此题的关键是求|x+1|+|x-2|的最小值，再利用恒成立或有解的结论即可解决.

解 由不等式|z1|+|z2|≥|z1±z2|知，|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，即

（|x+1|+|x-2|）min=3.

|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，|a|≥（|x+1|+|x-2|）min，即|a|≥3，解得a≤-3或a≥3. 故实数a的取值范围是（-∞，-3］∪［3，+∞）.

点评 恒成立问题是高考数学的热点问题，常将其转化为最值问题去处理.不等式有解、无解与恒成立的关系如下（f（x）有最大值或最小值）：

a>f（x）有解?圳a>fmin（x）；a

a>f（x）无解?圳a≤fmin（x）；a

a>f（x）恒成立?圳a>fmax（x）；a

第七招： 运用线性规划模型

此法通常是“三步曲”来解决：（1）画可行域――在平面直角坐标系中作出可行域；（2）作目标函数的等值线――即一组平行线；（3）求出最终结果――平行移动目标函数的等值线，即可得到有唯一的最优解，或是无穷最优解，或无最优解.

例7 （新课标全国卷）变量x，y满足约束条件3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，则z=x+2y的最小值为 .

分析 题目中给出的不等式组，可与平面区域联系起来，运用线性规划模型可解决.

解 如右图，作出可行域.

作直线x+2y=0经过原点（0，0），

作一组与x+2y=0平行的直线l：x+2y=z.

则当l过A（4，-5）点时，z值最小.

所以zmin=4+2×（-5）=-6. 故填-6.

点评 运用线性规划模型是解决此类问题的通法.