基于结构元的H模糊自适应边界元

摘要： 针对实际工程系统初始设计阶段经常出现材料的物理特性、结构的几何尺寸以及承受的

外来作用等不确定性的问题，研究具有模糊不确定性的边界条件，提出基

于模糊结构元（Fuzzy Structure Element, FSE)理论的模糊边界元法.该方法能简便、高效地处理边界条件具有模糊不确定性的系统.数值方法本身具有误差且系统自身具有模糊不确定性，故进一步研究模糊边

界元法的H自适应算法，给出实用的误差估计公式；对角点处进行H自适应分析，得到较高

精度的解.数值算例验证该方法的有效性和优越性.

关键词：

模糊结构元； 模糊不确定性； 模糊边界元法； 网格划分； 自适应误差分析

中图分类号： O343； TB115.2

文献标志码： A

H fuzzy adaptive boundary element based on structured element

CHEN Yiming, ZHOU Zhiquan

(College of Sciences, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, Hebei, China)

Abstract： As to the uncertainties at the initial design phase of actual engineering systems, such as physical characteristics of materials, geometry size of the structure, the external effect, and so on, the boundary conditions with fuzziness and uncertainty is studied, and a fuzzy boundary element method based on fuzzy structured element is proposed, which makes the process of fuzzy uncertain boundary conditions of system more convenient and efficient. Due to the error of numerical method itself and the fuzzy uncertainties of the system itself, the H adaptive algorithm based on fuzzy boundary element method is further studied, and the practical formula estimating error is presented; the H adaptive analysis on corner points is studied, and a higher accurate solution is obtained. The effective ness and superiority of the method is demonstrated by numerical example.

Key words： fuzzy structured element; fuzzy uncertainty; fuzzy boundary element method; meshing; adaptive error analysis

0 引 言

在工程领域中经常会遇到许多不确定性［1］，可将其分为随机不确定性和模糊不确

定性两大类，通常的处理方法是不考虑上述不确定性，而用确定的量代替进行计算.随着科

学

技术的进步，尤其是模糊数学的产生和发展［1-2］，人们已不满足于传统的确定性

分析方法，对不确定性的研究应运而生.

工程领域的模糊不确定性通常体现在以下3方面：(1)载荷工况；(2)边界条件；(3)结构材料

及环境介质的物理几何特性.本文对边界条件具有模糊不确定性的情形进行研究.

工程问题的精确解几乎难以实现，一般采用数值近似解，通常，有效的数值解法主要有有限

元法和边界元法.［3-6］边界元法能够降维，因此可以减少许多计算量，并

获得更高精度的解，已经在结构分析中广泛使用.本文使用边界元法研究边界条件具有模糊

不确定性的系统.

目前，已有许多学者［7-13］对模糊不确定性的结构进行研究，既有利用有限元法

研究的，又有利用边界元法的，其中，BURCZYNSKI等［7］对模糊边界元法进行开创

性研究工作，文献［7-13］均以模糊数表征模糊不确定性.通常，模糊数的运算有扩展原理

法和

λ-截集法2种方式：扩展原理法须求出上确界，难以在计算机上实现；

λ-截集法相对较易实现，因此，文献［7-13］均使用该方法.然而，

λ-截集法利用的分解定理需对所有的

λ∈［0,1］进行取并运算，具有无穷遍历性，同样难以在计算机上实现.通常的做法是

取有限个

λ∈［0,1］进行数值插值，以逼近解的隶属函数，因此会产生一定程度的误差.此

外，对于由

λ-截集法形成的区间数线性方程组的求解(其推导过程非常繁琐)，文献［7-13］的

处理方法均会产生一定程度的误差，如“use

X~2 as the approximate fuzzy solutio

n of equation

A~λ

X~λ=

F~λ”［7］.由此可知，文献［7-1

3］不仅求解过程繁琐复杂，而且相对于确定性边界元法而言会产生新的误差来源.由文献［

14

-17］提出的基于结构元的模糊数学分析理论将模糊数表示成模糊结构元的平移和伸缩，形

式简单、运算简便.

本文基于模糊数的结构元理论，推导具有模糊边界条件的边界元公式，推导过程简单明了，

相对于确定性边界元法，不产生新的误差来源.

通常，边界元法在角点处有较大的误差［18］，有必要进行自适应，本文采用H自适

应，为此需作出恰当的误差估计.由于模糊性的存在，不能使用传统的误差分析方法，本文

利用文献［14］中提出E模和E距离度量2个模糊数之间的差异，实现H自适应误差估计.

自编

的FORTRAN程序能实现该算法.

1 相关的模糊数学理论

1.1 模糊集和模糊数

ZADEH［2］提出模糊集合论后，模糊数学发展极快，并向多领域交叉学科渗透，获得广泛应用.

定义1 论域

U上的模糊集合

A~是用隶属函数

μ(x)表征的集合，

μ(x)的取值范围为［0,1］.［1-2］

常用的隶属函数有高斯型和三角型等，可进一步参考文献［2］.

定义2 设

A~是定义在实数域R上的模糊集，若(1)

A~是标准的；(2)

A~为凸集；(3)

A~的支撑集有界；

(4)A~的所有

λ-截集都为R中的闭区间，则称为一个模糊数(fuzzy number).［19-20］

1.2 模糊结构元

1.2.1 模糊结构元的定义

设E~为实数域R上的模糊集，隶属函数记为E(x

),x∈R.如果E(x)满足

：(1)E(0)=1，E(1+0)=E(-1-0)=0，

(2)在区间［-1，0)上E(x)是单增左连续函数,在区间(0，1］上是单降右连续函数，

(3)当-∞

则称模糊集

E~为R上的模糊结构元(Fuzzy Structure Elem

ent，FSE).

定理1(局部映射原理) 设

E~是R上的模糊结构元，具有隶属函数E(x)，又

设函数f(x)在区间［-1,1］上连续单调，则

E~的模糊变换

f(E~)是模糊数，且

f(E~)的隶属函数为

E(f-1(x))，

f-1(x)为f(x)的反函数.

定理2（模糊数的结构元表现定理） 对于R上的任意有限模

糊数

A~，总存在一个模糊结构元

E~和有限实数a与r，使得

A~=a+r

E~，且

A~的隶属函数

A(x)=Ex-ar.

上述a为平移因数，r为伸缩因数.如果结构元的隶属函数关于纵坐标轴x=0对称，则称为

对称型模糊结构元.

1.2.2 基于FSE表示的模糊数的性质

对于2个模糊数

A~=a+r

E~，

B~=b+ρ

E~，a,r,b,ρ∈R，

(1)当且仅当a=b以及r=ρ，则

A~=B~；

(2)数乘性质：μ∈R，

有μA~=μa+μrE

~；

(3)若E~为对称型FSE，

则E~=-

E~，

a+rE~=

a-rE~；

(4)当r・ρ>0时，

A~±

B~=(a±b)+(r+ρ)

E~.

1.2.3 基于FSE表示的模糊数的E模及E距离

设

ε(E~)=

{A~|

A~=a+

rE~，

a∈R，

r∈R+}为由对称型结构元

E~生成的全体模糊数，由于

ε(E~)中的元素可由实数a和r决定，

(a,r)∈R×R+，则称R×R+为模糊数相平面.

模糊数

A~=a+

rE~的E模定义为

|A~|E=

a2+r2.

2个模糊数

A~=a+

rE~和

B~=b+

ρE~的E距离定义为

dE(A~，

B~)=

(a－b)2+(r－ρ)2.

2 Laplace方程的模糊边界元分析

Laplace方程［3-6］为

Δ

2u=0 in Ω；

u=u- on Γ1；

un=q=

q- on Γ2；

Γ1∪Γ2=Γ，Γ1∩Γ2=0

(1)

式中：Ω为被研究问题所在区域；

Γ为Ω区域的边界；u为位势；

u-为Γ1上已知的基本边界条件；

q为位势梯度；

q-为Γ2上已知的自然边界条件；

n为边界Γ的外法矢量；

Γ=Γ1∪Γ2.

将式(1)表示成加权余量的形式

∫Ω

Δ

2uwdΩ=

∫Γ2(q-

q-)wdΓ2-

∫Γ1(u-

u-)

wndΓ1

(2)

式中：w为加权余量函数.在源点i处进行积分，代入边界条件后，得

ciui+∫ΓqudΓ=

∫Γu*qdΓ， i=1,2,…,Ne

(3)

式中：ci=θ2π；θ为边界折角处的内角，rad；

u为Laplace方程的基本解

q=un.

将式(3)离散并在每个单元上插值，得

ciui+

Nej=1∫Γjq*φdΓuj=

Nej=1∫Γju*φdΓqj，

i=1,2,…,Ne

(4)

式中：φ为插值函数.

记hij=∫ΓjqφdΓ，

Hij=

hij,i≠j

ci+hij,i=j

，

Gij=∫ΓjuφdΓ，

H=(Hij)，

G=(Gij)，则式(4)写成矩阵形式为

HU=GP(5)

2.1 边界条件为模糊量时的插值形函数

假设边界条件具有模糊不确定性，本文采用模糊数值函数进行建模.令

u~和

q~均为模糊数值函数，且由同一个模糊结构元

E~生成，未知的模糊数值函数可采用通常的插

值方法进行逼近，插值函数仍然为通常的插值函数，而插值节点取为模糊数.［7］

根据插值函数的不同，一般可分为常单元、一次元和二次元等3种情形.

2.1.1 常单元

当假设函数值在每个单元取常量，则对于单元

Γj，有

u~=

u~j，

q~=

q~j.其中，

u~j和

q~j分别为单元Γj上中点处的模糊数常量

.此时，式(4)中的

ci=12，

hij=∫ΓjqdΓ，

gij=∫ΓjudΓ，则式(5)可转化为

Hu~=

Gq~

(6)

式中：

u~和

q~分别为模糊数常数Ne维

列向量.

2.1.2 一次元

为提高插值精度，可将插值函数取为线性元，则对于单元Γj，有

u~(x)=

φ(x)

u~j，

q~(x)=

φ(x)

q~j.其中，

φ(x)=(φ1(x) φ2(x))为线性插值函数二维行向量，

u~j=

(u~j1

u~j2)T和

q~j=

(q~j1

q~j2)T分别为单元Γj上两端点

处的模糊数常数二维列向量.此时，式(4)中的

hij=∫ΓjqφdΓ，

gij=∫ΓjuφdΓ.式(4)也可写成如式(6)的矩阵形式，并相应地

增

加维数.

2.1.3 二次元

为进一步提高插值精度，可将插值函数取为二次元，则对于单元Γj，有

u~(x)=

φ(x)

u~j，

q~(x)=

φ(x)

q~j.其中，

φ(x)=(φ1(x) φ2(x) φ3(x))为二次插值函数三维行向量，

u~j=

(u~j1

u~j2

u~j3)T和

q~j=(

q~j1

q~j2

q~j3)T分别为单元Γj上两端

点

及中点处的模糊数常数三维列向量.此时，同样可得到如式(6)的矩阵形式，并相应地增加

维数.

2.2 基于FSE的模糊边界元求解

由第2.1节的3种插值形函数可分别得到3个如式(6)的不同维数矩阵，假定

u~j和

q~j为同一个模糊结构元

E~生成的模糊数，即有

u~j=uja+ujr

E~，

q~j=qja+qjr

E~，uja，qja∈R分别为uj和qj

的平移因数，ujr，qjr∈R分别为uj和qj的伸缩因数，则式(6)转化为

H(

ua+

ur

E~)=

G(

qa+

qr

E~)

(7)

式中：

ua，

ur，

qa和

qr为分别由uja,ujr,qja和qjr形成的同维列向量.代

入已知的边界条件，整理后可得线性方程组

Ax~=

b~

(8)

或

A(

xa+

xrE~)

=(ba+

brE~)

(9)

式中：

A为通常的实数矩阵；

b~为已知的边界节点模糊数向

量；

x~为未知的边界节点模糊

数向量.

根据文献［14］，有

Axa+

AxrE~=

ba+

brE~

(10)

根据基于模糊结构元的模糊数性质，由式(10)可得2个同等规模的线性方程

Axa=ba

Axr=br

(11)

求解该线性方程组，就可得到全部的边界解.由此可知，利用基于模糊结构元表示的模糊数

，可将边界条件具有模糊不确定性的边界元分析转化为解2个同等规模的常规边界元问题，

与同类问题的其他解法相比更简单、更快速且更方便.

2.3 H自适应方案及误差分析方法

数值解都有不同程度的误差，当边界条件具有模糊不确定性时，更有必要进行误差分析

.本文采用H自适应优化策略［21］，细分误差较大的单元，网格中单元总数随之增

加而插值函数的阶数保持不变.H自适应优化策略算法简单、易于实现，是常用的优化策略之一.

2.3.1 连续误差分析［13, 22］

在H自适应边界过程中，第i个节点作为前一个单元的终节点和后一个单元的始节

点，其位势梯度可能不同，即节点i位势梯度不连续.此时，节点i附近节点的位势和位势梯

度变化及相互影响十分显著，需进行误差分析和自适应单元细分，记

Rmiq，c=

dE(

q~mibefore，

q~miafter)=

(qmia,before-qmia,after)2+

(qmir,before-

qmir,after)2

(12)

式中：

q~mibefore和

q~miafter分别为第m次迭

代节点i作为前一个单元终节点和后一个单元始节点的位势梯度，且为同一个结构元

E~生成，即

q~mibefore=

qmia,before+

qmir,before

E~，

q~miafter=

qmia，after+

qmir，after

E~，

qmia，before，

qmir，before，

qmia，after，

qmir，after∈R；

Rmiq，c表示误差，下标c表示属于连续误差分析.

位势情况视为

Rmiu，c=0

(13)

位势梯度的连续误差量可表示为

Rmq，c(xi)=

∫Γu*l・dE

(q~mibefore，

q~miafter)dΓ=

Nej=1

∫Γju*l・dE

(q~mibefore，

q~miafter)dΓ=

(Rmq，c)ij

(14)

式中：(Rmq，c)ij为第m次迭代时节点i的位势梯度连续误差在单元j上

的值.单元j的误差指示因子定义为

λj，c=max

|(Rmq,c)ij|，i=1,2,…,N

(15)

连续误差量Rmq，c可通过式(16)进行测度.

Rmq,c=

|Rmq,c(x1)|+

|Rmq,c(x2)|+…+

|Rmq,c(xN)|=

Nej=1

Ni=1(Rmq,c)ij≤

Nej=1λj，c

(16)

因此，连续误差估计因子ηc可定义为

ηc=ec=

Nej=1λj，c

(17)

2.3.2 迭代误差分析

在H自适应边界过程中，第i次迭代的插值误差可近似表示为第i次迭代所

得的近似解与第i－1次迭代所得的近似解之差，即

u~-

u~≈dE(

u~i，

u~i-1)=

(uia－ui－1a)2+(uir－ui－1r)2

q~－

q~≈dE

(q~i，

q~i－1)=

(qia－qi－1a)2+(qir－qi－1r)2

(18)

式中：

u~i和

u~i－1分别为第i次和第i－1次迭代的

近似解，且为同一个结构元

E~生成，即

u~i=uia+uir

E~，

u~i－1=ui－1a+

ui－1r

E~，且uia，

uir，

ui－1a，

ui－1r∈R；

∏u~为边界元解的插值函数；位势梯度情

况类似.

插值残差

Rite(xi)=

∫Γq*l(

u~－

u~)dΓ-

∫Γu*l(q~-

q~)dΓ=

Nej=1

∫Γjq*l(

u~-

u~)dΓ-

∫Γju*l(

q~-

q~)dΓ≈

Nej=1

∫Γjq*l・dE(

u~i，

u~i－1)dΓ-

∫Γju*l・dE

(q~i，

q~i－1)dΓ=

Nej=1(R)ij

(19)

式中：(R)ij为当加载点为xi时插值残差在单元j上的值.单元j的误差指示因子定义为

λj=max{|(R)ij|，i=1,2,…,N}

(20)

残差R可通过式(21)进行测度.

R=

|Rite(x1)|+

|Rite(x2)|+…+

|Rite(xN)|=

Nej=1

Ni=1

|(Rite)ij|≤

Nej=1

λj

(21)

因此，整体误差估计因子

η=e=Nej=1λj

(22)

3 数值算例

采用文献［7］和［8］的算例验证本文方法，并将所得结果与文献［7］和［8］的结果进行

比较.图1为6 m×6 m的方形闭域介质的模糊位势问题，边界条件见图1，并假设均为三

角形模糊数，根据定理2，可将模糊结构元E~取为三角形

模糊结构元.

3.1 常单元及自适应分析

当将边界离散为12个常单元时，本文方法的数值计算结果见表1和2以及图2.

由数值计算结果可知，由本文方法所得结果的区间宽度比文献［7］和［8］窄，使得结果的模糊不

确定性进一步降低，计算结果的精度更高，明显优于文献［7］和［8］.

对常单元进行H自适应优化，即对误差较大的单元进行进一步划分，直到获得满意解.现取4个角点

(0,0)，

(6.00,0)，

(6.00,6.00)和

(0,6.00)，其计算结果见图3，可知，在自适应6次后，4个角点处的数

值结果都收敛到已知的边界条件，而且随着自适应次数的进一步增加，数值结果基本保持稳

定状态.

(a)角点(0，0)的位势

(b)角点(6.00，0)的位势

(c)角点(6.00，6.00)的位势

(d)角点(0，6.00)的位势

图 3 常单元自适应12次角点的位势

Fig.3 Potential at corner points of constant element after 12 adap

tive times

3.2 自适应线性元分析

进一步利用线性元H自适应求解，角点(6.00,0)和(6.00,6.00)的位势梯度见图4，

可知，自适应3次后，数值结果即基本保持稳定状态.

(a)角点(6.00，0)的位势梯度

(b)角点(6.00，6.00)的位势梯度

图 4 线性元自适应10次角点的位势梯度

Fig.4 Potential gradient at corner points of linear element after 10 ada

ptive times

3.3 自适应二次元分析

进一步利用二次元H自适应求解，角点(6.00,0)，(6.00,6.00)的计算结果见图5，可知

，自适应1次以后，数值结果即基本保持稳定状态.

(a)角点(6.00，0)的位势梯度

(b)角点(6.00，6.00)的位势梯度

图 5 二次元自适应5次角点的位势梯度

Fig.5 Potential gradient at corner points of quadratic element after 5 ad

aptive times

3.4 算例总结

从12个常单元的算例可知，相对于文献［7］和［8］，本文方法模糊不确定性降低，

精度提高；对于3类形函数分别H自适应后，本文方法均能较快地收敛到包含精确解（隶属度为1

的点）的区间，并且基本保持稳定状态.由表3可知，随着插值函数阶次的提高，所需的自

适应次数相应减少，数值结果收敛到包含已知边界条件的区间.

4 结束语

研究边界条件具有模糊不确定性的工程系统，提出基于FSE的H模糊边界元法，并

给出相应的误差分析，使得处理边界条件具有模糊不确定性的系统更简便、高效，计算精度

较高，同时，自适应算法具有较好的稳定性和收敛性.数值算例验证本文方法的有效性和优

越性.

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