几何问题中的整体补形思想

有些几何问题给出的图形是某种特殊图形的部分，给解题带来困难.如能将其补成某种完整的特殊图形，利用特殊图形的原有性质，使问题中有关元素间的隐含关系显露出来，为快速、简捷解题创造条件.举例简解如下：

一、补成三角形

例1 如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

简解：连BC，补成ABC.

因为∠D+∠E=∠DCB+∠EBC,

所以∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=∠A+∠ABC+∠ACB=180°.

二、补成等腰三角形

例2 如图2，ABC中，∠A∶∠B∶∠C∶=4∶2∶1.

求证：1AC+1BC=1AB.

简证：因为∠B=2∠C，作∠ACD=∠ACB，CD与BA的延长线交于D，补成以BC为底边的等腰DBC，作AE∥BC交CD于E，

所以∠EAC=∠ACB=∠ACE，

所以AE=EC=AB.

又∠DAC=∠B+∠ACB=3∠ACB，

∠D=∠BAC-∠ACE

=∠BAC-∠ACB=3∠ACB，

所以∠DAC=∠D，所以AC=DC.

由AE∥BC，

所以DAE∽DBC，

所以AEBC=DEDC，

所以AEBC=DC-ECDC，

即ABBC=AC-ABAC，

所以ABAC+ABBC=1，

则1AC+1BC=1AB.

三、补成等边三角形

例3 如图3，ABC中，AC=a，∠A=60°，∠C=20°，E是BC中点，D在AC上，∠DEC=80°.

求证：SABC+2SCDE=38a2.

简证：因为38a2=12×34a2 恰好是边长为 a 的正三角形面积的一半.又∠A=60°，作以AC为边的正三角形ACG为整体，作CF平分∠BCG交AG于F，

所以∠GCF=∠ACB=20°.

显然SACB=SGCF.

又∠CBF=∠A+∠ACB=80°，∠DEC=80°，

所以BCF∽DCE.

因为E是BC中点，所以SDCESBCF=14，

所以SBCF=4SDCE.

因为SACG=2SACB+SBCF

=2SACB+4SDCE

=34a2，

则SABC+2SCDE=38a2.

四、补成菱形

例4 如图4，凸五边形ABCDE中，AB=AE=6，BC=CD=DE=3，∠C=∠D=120°.求五边形面积.

简解：延长BC、ED交于F，易得CDF为正三角形，

所以CF=DF=CD=3，

所以BF=EF=6.

因为AB=BF=EF=EA，则补成的整体ABFE是菱形，

所以∠F=∠A=60°.

连BE，所以ABE和FBE都是边长为6的正三角形，

所以SABCDE=S菱形ABFE-SFCD

=2×34×62-34×32

=6343.

五、补成矩形

例5 四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5-3，CD=6.求AD的长.

简解：因为有135°、120°的特殊角，可以从Rt中的三角函数考虑，作矩形使BC在EF上，点A在FG上（如图5），

易得∠DCE=60°，∠ABF=45°，

所以DE=CD•sin60°=33，CE=CD•cos60°=3，BF=AF=3，

所以AG=FG-AF=DE-AF=23，

所以DG=EF=EC+CB+BF

=3+（5-3）+3=8.

则在RtAGD中，

AD=AG2+DG2=（23）2+82

=219.

六、补成正方形

例6 如图6，ABC中，ADBC，∠BAC=45°，BD=2，DC=3.求ABC的面积.

简解：作RtADC关于AC的轴对称图形AEC，作RtADB关于AB的轴对称图形AGB延长EC，GB交于F.

因为∠BAC=45°，AG=AE=AD，∠G=∠E=∠ADC=90°，则补成以AD为边的正方形AEFG.

因为BG=BD=2，EC=DC=3，设AD=x，在RtBFC中，

BC2=BF2+CF2=（x-2）2+（x-3）2

=52，

所以 x=6，

则SABC=12AD•BC=12×6×5=15.

七、补成直角三角形

例7 如图7，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，CD=2，BC=11.求AC的长.

简解：因∠B=90°，延长AD、BC交于E，补成RtABE.

因为∠BAD=60°，所以∠E=30°.

在RtEDC中，EC=2CD=4，

BE=BC+CE=15.

在RtABE中，

AB=EB•ctg∠BAE

=15×ctg60°

=15×33=53，

则AC=AB2+BC2

=(53)2+112

=14.

八、补成平行四边形

例8 如图8，BDBA，EAAB，AB=8，BD=6，AE=12，M是DE中点.求BM的长.

简解：因DB、EA都垂直于AB，所以AE∥DB，延长DB到C使DC=AE，

所以ADCE为，

EC=AD=AB2+DB2

=82+62=10.

又DC=2DB，M是DE中点，

则BM=12EC=5.

九、补成等腰梯形

例9 如图9，六边形ABCDEF中，每个内角都为120°，且AB+BC=11，FA-CD=3.求BC+DE的长.

简解：因六边形的每个外角都是60°，延长FA、ED与BC的延长线交于M、N，易得EF∥BC，

所以FMNE为等腰梯形，

所以FM=EN.

又AMB、DNC都是正三角形，

所以BC+DE=BC+EN-ND=BC+EN-CD=BC+FM-CD=BC+FA+AM-CD=（BC+AB）+（FA-CD）=11+3=14.

十、补成直角梯形

例10 如图10，ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C的对边.求证：a+b≤2c.

简证：延长CA到E，使AE=BC=a，作EDEA，取ED=AC=b，连BD，补成直角梯形BCED.作DF∥CE交BC于F，

易证得∠BAD=90°，AD=AB=c，

所以BD=2c.

又DF≤DB，所以 a+b=DF≤DB，

即 a+b≤2c（当 a=b 时，等号成立）.

十一、补成整圆

例11 如图11，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=a，BC=b.求BD的长.

简解：因AB=AC=AD=a，作以A为圆心，a 为半径的整圆，则B、C、D三点在A上，延长BA交A于E，连DE.

因为AB∥CD，所以DE=CB，

所以DE=BC=b.

在EDB中，BE为A直径，

所以∠EDB=90°，

所以BD=EB2-ED2=4a2-b2.

综观上述各例，通过作辅助线（圆）把原图形作为所作成的某个整体图形中的一部分，便于观察、分析、寻找解题途径，不失为行之有效的方法.

（初三）