几何画板让数学研究走进缘分的天空

摘 要：与两定圆相切的动圆圆心轨迹涉及问题复杂，需要构建技术环境以帮助学生认识问题的本质；在详解问题情境的画板构造后，分情况进行详细探究，并得出结论：当动圆与两定圆同时内切或外切时，圆心轨迹为长轴长（或实轴长）为半径之差的椭圆（或双曲线）；当动圆与一定圆外切一定圆内切时，圆心轨迹为长轴长（或实轴长）为半径之和的椭圆（或双曲线）． 而应用技术在帮助学生认知的同时，也为数学课堂转型提供了一重要方向．

关键词：相切；轨迹；数学研究；几何画板；探究情境

我们知道，椭圆和双曲线涉及距离和或差为定值的问题，正与两圆相切相契合（如两圆外切即圆心距等于半径之和），圆与圆锥曲线的关系正如《圆与圆锥曲线的不解之缘》一文所言“有着不解之缘”，因此与两定圆相切的动圆圆心轨迹问题是提升学生思维水平的很好的课题． 但既要考虑动圆与两定圆相切的具体情形，又涉及两定圆本身的位置关系，如《圆与圆锥曲线的不解之缘》一文所叙述的那样，个中关系错综复杂，如果只是采用解析的方式，对学生而言其结果只能是“有缘无分”． 本文以几何画板5.0为软件平台，创设探究情境，让学生在技术支持下插上想象的翅膀，自主地在“问题空间”里进行探索．

画板构造探究情境

为行文方便，本文所涉及问题均为动圆C与定圆A、定圆B相切， P为圆A上一动点，圆A，B，C的半径分别为r1，r2（假设r1>r2），r，考虑到问题复杂性，先研究圆B退缩为一点的情形．

1． 动圆过定点与定圆相切的画板实现

因为动圆圆心C满足CP=CB，所以构造PB的垂直平分线与AP的交点即为圆心C．

如图1，当动圆C与定圆A外切时，C点轨迹为双曲线的右支（对应点B）；如图2，动圆C与定圆A内切时，C点轨迹为双曲线的左支（对应点A）． 事实上，上述结论限于点B在圆A外时，若点B落于圆A内，则C点轨迹为一椭圆（如图3，此时圆C与圆A内切）；若点B在圆上时，则C点轨迹为两条射线（直线AB去除圆内的部分）．

2． 动圆与两定圆相切的画板实现

当动圆C（以CP为半径）与两定圆A，B外切时，可转化为动圆C（以CM为半径）过点B与定圆A（以AM为半径）外切（图4中虚线所示），其中PM等于圆B的半径． 具体构造步骤如下：

步骤1，构造定圆A，B（两圆相离）和圆A上一点P；

步骤2，先后选中点A，P，标记为向量，将B点按标记向量平移，得到点Q；

步骤3，先后选中点B，Q，构造射线BQ，交圆B于点N；

步骤4，先后选中点N，B，标记为向量，将P点按标记向量平移，得到点M；

步骤5，构造线段MB的垂直平分线，交直线AP于点C；先后选中点C，P，构造动圆C．

步骤6，如图5所示，拖动点P，可以发现动圆C与定圆A． B同时外切或同时内切；选中点C． P构造轨迹，可以发现点C的轨迹为一双曲线．

如果要实现动圆C与定圆A，B一外切一内切，只需将上述步骤4略加调整如下即可：

步骤4—1，如图6，先后选中点B，N，标记为向量，将P点按标记向量平移，得到点M；

构造过程采用向量平移的方式可保证方向的一致性，这样图5中AM=r1－r2（可视为有向线段），图6中AM=r1+r2．

数学探究过程

探索1 动圆与两定圆同时内切或外切时

两定圆外离时：动圆与两定圆同时外切，由图7知点C的轨迹为双曲线的右支；动圆与两定圆同时内切时，由图8知点C轨迹为双曲线的左支． 进一步分析可知：同时外切时，因为CA=r+r1，CB=r+r2，所以CA－CB=r1－r2；同时内切时，因为 CA=r－r1，CB=r－r2，所以CB－CA=r1－r2；这样可知C点轨迹为以A，B为焦点，实轴长为r1－r2的双曲线．

两定圆外切或相交时：点C的轨迹仍为以A，B为焦点的双曲线，但外切时，轨迹为双曲线右支中圆B外的部分（如图9），内切时则为左支及右支圆B内的部分（如图10），显然《圆与圆锥曲线的不解之缘》一文在这个问题的探讨上是有失偏颇的．

两定圆内切时：点C的轨迹为直线AB．

两定圆内含时：动圆C只能与两定圆内切，从图11可以发现，点C的轨迹为一椭圆，因为CA=r1－r，CB=r－r2，所以CB+CA=r1－r2，所以轨迹为以A，B为焦点、长轴长为r1－r2的椭圆．

结论：AB>r1－r2时，C点轨迹为以A、B为焦点，实轴长为r1－r2的双曲线；AB=r1－r2时，C点轨迹为直线AB；AB

探索2 动圆与两定圆一个内切一个外切时

两定圆外离时：如图12，圆C与圆A外切、圆B内切时，因为CA=r+r1，CB=r－r2，所以CA－CB=r1+r2，所以轨迹为以A，B为焦点，实轴长为r1+r2的双曲线的右支；如图13，与圆A内切、圆B外切时，轨迹为双曲线的左支．

两定圆外切时：C点轨迹为直线AB．

两定圆相交时：如图14，圆C与圆A内切、圆B外切时，因为CA=r1－r，CB=r+r2，所以CA+CB=r1+r2，所以轨迹为以A，B为焦点，长轴长为r1+r2的椭圆（圆B外）；圆C与圆A外切、圆B内切时，轨迹为相同的椭圆（圆A外）．

两定圆内含时：动圆C只能与圆A内切、圆B外切，如图15其轨迹仍然是椭圆．

结论：AB>r1+r2时，C点轨迹为以A、B为焦点，实轴长为r1+r2的双曲线；AB=r1+r2时，C点轨迹为直线AB；AB

事实上，本文所研究问题涉及两个维度的变化，一是圆C的运动变化. 二是定圆A，B之间位置关系的相对变化． 在教育技术能提供“多元联系表示”的学习环境中，一方面可以让学生真实感知轨迹的性质，另一方面也可让学生从观察、猜想、验证中感受数学研究的全过程；况且数学教学的目的绝非仅仅是传授数学知识，更重要的是改善学生的数学学习方式，正如弗赖登塔尔所言“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的．” 教育技术让数学研究走进缘分的天空的同时，也让数学课堂从“知识”、“能力”走向“研究”、“创新”成为可能，因此挖掘技术潜力以用“火热的思考”融化“冰冷的美丽”应是数学课堂转型研究的一重要方向．