换个角度视野阔

考试时要求同学们在有限的时间内解决一定数量的数学问题，这不仅要有方法，更需要技巧. 换一个角度，给我们不同的视野；换一种方式，给我们不同的思维；换一种方法，给我们不同的途径. 以2013年的中考中有关“数与式”部分试题略作分析，在不同的思路中让我们一起比较路途的长短，比较视野的宽窄.

一、 整体思想解决路径长，等积变形来帮忙

例1 （2013・山东烟台）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连接AF、CF，则图中阴影部分面积为______.

【分析】设正方形EFGB的边长为a，表示出CE、AG，然后根据阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+SCEF-SAGF，列式计算即可得解.

解法一：设正方形EFGB的边长为a，则CE=4-a，AG=4+a，

阴影部分的面积

=S扇形ABC+S正方形EFGB+SCEF-SAGF

=+a2+a（4-a）-a（4+a）

=4π+a2+2a-a2-2a-a2

=4π.

【点评】本题涉及正方形的性质、整式的混合运算、扇形的面积计算，引入小正方形的边长这一中间量是解题的关键.

解法二：连接AC、BF，易证AC∥BF；则SACF=SABC（同底等高）；所以阴影部分面积为扇形ABC的面积，故答案为：4π.

二、代数式的计算有点烦，各项定位来解难

例2 （2013・台湾）若一多项式除以2x2-3，得到的商式为7x-4，余式为-5x+2，则此多项式是什么？（ ）.

A. 14x3-8x2-26x+14

B. 14x3-8x2-26x-10

C. -10x3+4x2-8x-10

D. -10x3+4x2+22x-10

【分析】根据题意列出关系式，计算即可得到结果.

解法一：根据题意得：

（2x2-3）（7x-4）+（-5x+2）

=14x3-8x2-21x+12-5x+2

=14x3-8x2-26x+14

故选A.

【点评】此题考查了整式的除法，涉及的知识有多项式乘多项式法则、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

解法二：这题是一道选择题，计算的结果是一个三次多项式，最高次项的系数为14，所以只有A、B两个选项可能正确，常数项为12加2，所以选择A.

三、 代数推理有点难，数学直观很好玩

例3 （2013・浙江宁波）7张如图2的长为a，宽为b（a>b）的小长方形纸片，按图3的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示. 设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）.

A. a=b B. a=3b C. a=b D. a=b

【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出S，根据S与BC无关即可求出a与b的关系式.

解法一：左上角阴影部分的长为AE，宽AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽CG=a.

AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，AE+a=4b+PC，即AE-PC=4b-a，

阴影部分面积之差S=AE・AF-PC・CG=3bAE-aPC=3b（PC+4b-a）-aPC=（3b-a）PC+12b2-3ab，则3b-a=0，即a=3b. 故选B.

【点评】此题考查了整式混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键.

解法二：当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，左上角与右下角的阴影部分的面积的差S始终保持不变，面积差S与水平长没有关系，则宽相等（否则两个增加的面积不一样大时，面积的差S会发生变化），故选择B.

四、 数形结合很直观，边长大小相比较

例4 （2013・江苏常州）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b>a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）.

A. a+b B. 2a+b C. 3a+b D. a+2b

【分析】根据3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b>a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式即可得出答案.

解法一：3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b>a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，a2+4ab+4b2=（a+2b）2，

拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），故选D.

【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是完全平方公式.

解法二：B、C选项中边长为a的正方形纸片不够，A、D选项中D的选项比A的长，只需计算D选项是否能够满足条件，经计算可以拼成.

五、 裂项相消很奇妙

例5 （2013・湖南郴州）化简+的结果为（ ）.

A. -1 B. 1 C. D.

【分析】先把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案.

解法一：+=-==1.

故选B.

【点评】此题考查了分式的加减. 在分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减即可.

解法二：由于第一项的分子与分母的次数相同，所以第一项可以变化为一个整式与一个分子比分母次数低的分式的和的形式，=1+，这样第二项与原式中的第二项相消，结果为1，选B.

（作者单位：江苏省盐城市初级中学）