三角形的“心”

摘要：本文先对三角形各心概念进行阐述；再探究各心在三角形中的位置分布；最后提出并证明猜想“两心重合的三角形是等边三角形”。

关键词：三角形；重心；内心；垂心；外心；旁心；界心

引言：三角形的心是三角形的重要几何点。目前对三角形心的研究大致有四个方向：三线共点问题[1]、三角形各心性质[2]、三角形各心坐标及心距公式[4]、欧拉定理―三心共线。

1三角形各心的概念

定理1：三角形的三条中线、三条高线、三条内角平分线、三边垂直平分线、一条内角平分线和其它两个角的外角平分线、三边周界中线[5]都交于一点。

定义：三角形的重心、垂心、内心、外心、旁心、界心分别是此三角形三条中线、三条高线、三条内角平分线、三边垂直平分线、一条内角平分线和其它两个角的外角平分线、三边周界中线所交成的点。

2各心在三角形中的位置分布

定理2：重心、内心与界心一定在三角形内部。

事实上据公理“平面内两直线被第三条直线所截，若同旁内角之和不等于二直角，则两直线必相交；且交点在内角和小于两直角的一侧。”定理成立是显然的。

定理3：旁心一定在三角形外部。

事实上：两外角平分线一定交于三角形的外部。

定理4：外心可以在三角形内部、外部或边上；垂心可以在三角形内部、外部或顶点。

事实上：锐角三角形的外心与垂心在三角形内部；钝角三角形的外心与垂心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边中点处，垂心与直角顶点重合。

推论：三角形某心在其周边上，则此三角形一定是直角三角形；且这样的心只能是在直角三角形斜边中点的外心，或者与三角形直角顶点重合的垂心。

3定理5：有两心重合的三角形是等边三角形。

引理：对同一个三角形，旁心与其它几心均不可能重合。

由定理3：三角形的旁心只可能与外心与垂心重合。事实上是不可能做到的。以外心为例，如图1，设P为ΔABC的其一旁心，不妨设点P为∠B与∠C的外角平分线的交点。则过P作垂直于AB、AC的直线。交点均在线段AB、AC的延长线上。即P点不可能是此三角形的外心。

因此证明有两心重合的三角形是等边三角形，只需要证：外心、内心、垂心、重心、界心的两两重合定理均成立即可。事实上：

（1）外心与内心重合

如图2，若ΔABC的外心与内心重合，

则其内切圆和外接圆是同心圆。

据垂径定理，以及全等三角形性质即知：

ΔABC是等边三角形；

（2）内心与垂心重合

如图3，设ΔABC三条高线交于一点H，又H是内心

∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD

ΔABCΔACD从而AB=AC；

同理：AB=BCΔABC是等边三角形；

（3）垂心与界心重合

如图3，设ΔABC三条周界中线交于点K，由界心性质：

AB+BD=AB+AE=12s，BD=AE又K是ΔABC的垂心，∠AEB=∠ADB=90°

又∠AKE=∠BKD，ΔAKEΔBKDBE=AD，∠CAD=∠CBE.

ΔADCΔBEC从而AC=BC.同理可得：AB=AC.

ΔABC是等边三角形；

（4）界心与重心重合

如图3，设ΔABC三条中线交于一点G，D、E、F是各边的中点，又G是界心，

AB+BD=AC+DC，AB+AE=BC+ECAB=AC，AB=BC＼

ΔABC是等边三角形；

（5）重心与外心重合

如图3，设ΔABC三条中线交于一点G，D、E、F是各边的中点，

又G是外心，AG=BG∠BAD=∠ABE，又AF=BFΔAFGΔBFG

∠AFC=∠BFC=90°CF垂直平分线段ABAC=BC

同理可证：BE垂直平分线段AC，从而AB=BC.ΔABC是等边三角形。

综上，有两心重合的三角形是等边三角形。

参考文献

[1]樊群涛三角形“三心”的完美统一[J]中学生数学，2005，22

[2]李明、严忠三角形各心的性质[J]中学数学教学，1993，1：11-14

[3]饶克勇数形结合的魅力―三角形五心坐标及其应用[J]昭通师专学报，1993，15（4）：20-38

[4]冯跃峰三角形的“心距”计算公式[J]中学数学教学（湖北）1995，3

[5]张学哲三角形周界中线[J]数学通报，1995，（4）