巧用三角形中位线

问题1已知如图，正方形ABCD对角线AC、BD交于点O，BE平分∠DBC交AC于F交DC于E，求证：OF= DE

（方法一）分析：从 DE联想到三角形的中位线定理，但OF显然不是BDE的中位线，这个三角形的中位线应和OF相等，从而问题转化为证一个三角形中的两条边相等。

证明取BE的中点M，连接OM

四边形ABCD为正方形，连接OM

OB=OD，∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA=450

BM=ME OM是BED的中位线

BE平分∠DBC ∠DBC=∠CBE

证明延长BE到M，使得FM=BF，连接DM

四边形ABCD为正方形

OB=OD，∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA=450

BF=MFOF是BMD的中位线

BE平分∠DBC ∠DBE=∠CBE

∠CFE=∠CBE+∠BCA，

∠DEM=∠DBE+∠BDE

注在证明两边相等的时候，通常那它们放到同一个三角形中，采用等腰三角形的性质等边对等角，从而使问题简化达到所需的目的。

问题2已知：如图三角形ABC的一边AC三等分于H、G，又E、F分别是AB、BC的中点，EG、FH的延长线交于D，求证：四边形ABCD是平行四边形。

分析题目中实际只告诉了E、F分别为AB、CD的中点，同时还说明了H、G为AC的三等分点，在解题的过程中应充分运用三角形的中位线的特点，创造中位线，适当辅助线的添加，使题目变得清楚，因为E、H分别为AB、AG的中点，则EH为ABG的中位线，从而EH∥BG同理BH∥FG，即DH∥BG、DF∥BH得四边形BHDG为平行四边形，再由平行四边形的性质知道BO=DO、HO=GO，又因AH=CG，得AO=CO，从而四边形ABCD是平行四边形。

证明连接BD交AC于点O，再连接BH、BG

H、G为AC的三等分点

AH=HG=GC

E、F分别是AB、BC的中点

AE=BE，CF=FB

EH为ABG的中位线，GF为CHB的中位线

EH∥BG，BH∥FG

即DH∥BG，DF∥BH

四边形BHDG为平行四边形

BO=DO，HO=GOAH=CGAO=CO

BO=DO四边形ABCD是平行四边形

注充分运用三角形的中位线的特点和性质，从而使复杂的问题简单化，便于大家理解和接受。

总之，在平时的学习中应该善于思考、理解，并把所学的知识充分运用到实际问题中去，这样才能达到真正的目的。

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