从匀变速运动管窥物理规律和谐之美

物理规律的和谐、统一是科学美的体现，是众多科学家毕生追求的目标.科学巨匠爱因斯坦提出的“大统一理论”构想虽然穷极一生都未能完成，但至今仍是物理学家努力的方向.物理规律的和谐、统一不仅表现在高度集中的“大统一理论”上，也反映在物理学的方方面面.下面让我们从匀变速运动规律管窥物理规律的和谐、统一之美.

1从匀变速运动的一组问题谈起

问题1匀变速直线运动和匀变速曲线运动为什么都称之为匀变速运动？它们的关系仅限于都有不变的加速度吗？

现行高中教材对这一问题根本没有回答.匀变速直线运动和匀变速曲线运动的研究是独立进行的，虽然匀变速曲线运动通过分解转化为直线问题研究，但并没有真正建立起这两种运动特殊的内在联系.如果考虑到这一点，我们肯定会有这样的追问：

问题2匀变速直线运动和匀变速曲线运动满足统一的规律吗？

这个问题的解决无论是肯定还是否定都同样值得期待.一个新的问题浮出水面.

问题3用什么方法解决前面的问题？

考虑到匀变速直线运动规律是在一维坐标系下通过一维矢量表示的，而匀变速曲线运动是在二维平面上发生的运动，能否将其规律用二维矢量表示呢？答案应该是不言而喻的.下面以二维矢量方法探讨匀变速运动的一般规律.

2匀变速曲线运动的规律

为了研究清楚匀变速运动的一般规律，下面将从研究匀变速曲线运动开始进而揭示匀变速运动规律的统一性.先证明以下引理.

引理任何匀变速曲线运动总可以分解为相互垂直的匀速运动和匀变速直线运动.

证明以起始位置为坐标原点，在质点做匀变速曲线运动的轨迹所在平面建立平面直角坐标系，且以与加速度垂直的方向为x轴正方向，以加速度方向为y轴正方向.因为x方向没有加速度，故质点在该方向做匀速运动，y方向有恒定加速度，故质点在该方向做匀变速直线运动.证毕.

由引理知，任意匀变速曲线运动初速度v0及t时刻的速度vt可分解如图1.下面探讨和证明匀变速曲线运动的规律.

（1）匀变速曲线运动的速度公式

t=0=t（1）

证明：t时刻速度可表示为x=0x，

y=0y+t.

故t=x+y=（0x+0y）+t=0+t.

（2）匀变速曲线运动的位移公式

=0t+112t2（2）

证明：由引理知，任意匀变速曲线运动的两个分运动在t时间内的位移（如图1）可表示为

=0xt，

=0yt+112t2.

故=+=0t+112t2.

（3）匀变速曲线运动的平均速度与中间时刻速度t/2

=t+012=t/2（3）

证明：由平均速度的定义结合（1）和（2）式

=1t=0+112t=0+t-012=t+012，

又因为t12=t/2-0=t-t/2，

故t/2=t+012=.

（4）匀变速曲线运动的位移速度关系式

2・=v2t-v20 或 2ascosθ=v2t-v20（4）

证明：设2・=2・0t+・t2=2（t-0）・0+（t-0）・（t-0）=v2t-v20.

设与的夹角为θ，则2・=2ascosθ，

即2ascosθ=v2t-v20.

（5）匀变速曲线运动的特征公式

Δ=n+1-n=t2（5）

证明设前（n-1）t、前nt和前（n+1）t时间内的位移分别为N-1、N和N+1，则由（2）式得

N-1=0（n-1）t+112[（n-1）t]2，

N=0nt+112（nt）2，

N+1=0（n+1）t+112[（n+1）t]2，

故，第n段t时间和第n+1段t时间内的位移分别为

n=N-N-1=0t+t212[n2-（n-1）2]

=0t+t212（2n-1），

n+1=N+1-N=0+t212[（n+1）2-n2]

=0+t212（2n+1）.

由以上两式得连续两段t时间内的位移之差

Δ=n+1-n=t2.

3匀变速直线运动规律和匀变速曲线运动规律的对比分析

匀变速直线运动规律和匀变速曲线运动规律有什么关系呢？我们将两者对比分析如表1.

表1匀变速运动规律名称1匀变速直线运动规律1匀变速曲线运动的规律速度规律1vt=v0+at1t=0+t位移规律1s=v0t+112at21=0t+112t2位移速度关系12as=v2t-v2012・=v2t-v20

或2ascosθ=v2t-v20平均速度与

中间时刻速度vt/21=vt+v012=vt/21=t+012=t/2匀变速运动的特征公式1Δs=sn+1sn=at21Δ=n+1-n=t2通过对比分析我们得出如下结论：

当（1）～（5）式中的各矢量为一维矢量时，匀变速曲线运动的规律演变为匀变速直线运动的规律.可见匀变速直线运动的规律和匀变速曲线运动的规律是完全统一的.匀变速运动的一般规律可以表示为（1）～（5）式.

4从匀变速运动规律到动力学方程

怎样理解运动学规律背后的动力学原因呢？我们将以上规律和动力学基本方程牛顿第二定律结合起来会有怎样的收获呢？

牛顿第二定律可表示为

=m（6）

将（1）式写为t-0=t，两边同时乘以m并结合（6）式得

mt=mt-m0，

即t=mt-m0（7）

（7）式即为动量定理.

将（4）两边同时乘以m得

2mascosθ=mv2t-mv20，

结合（6）式可得 Fscosθ=112mv2t-112mv20（8）

（8）式即为动能定理.

可见，在匀变速运动中，运动学和力学规律可以由牛顿第二定律完美地统一起来.如果借助微积分工具，（7）式和（8）式还可推广到非匀变速运动中，从而真正成为动力学的一般方程.

任何理论没有应用准是昙花一现.下面我们引出匀变速运动规律的两个有用的推论.

5匀变速运动规律的两个推论

推论1做匀变速运动的物体，任意时间t的中间时刻速度必与该段时间内的位移方向相同.

证明由=1t=t/2知，任意时间t的中间时刻速度t/2必与该段时间内的位移方向相同.

例1在研究平抛运动的实验中，用频闪照片记录轨迹.如图2，小方格的边长L，闪光频率为f.若小球在平抛运动中途经几个位置a、b、c、d，则小球过b点和c点的速度分别为vb=，vc=（用L、f表示）.

解设小球从a至b的时间为t，则从b至c和从c至d的时间也为t.其中t=11f，则由推论1可得

vb=sac12t=32+42L12t=5L12t=2.5fL，

方向与ac方向平行.

vc=sbd12t=42+52L12t=4112fL，

方向与bd方向平行.

显然，本题求瞬时速度的方法可以作为用抛体运动验证机械能守恒的理论基础.也为我们提供了对已知轨迹的任意匀变速运动求瞬时速度的简易方法.

例2如图3，平面坐标系xOy第一象限内存在平行于y轴的匀强电场，一带电粒子以v0的速度从原点O沿着x轴正方向射入电场.经一段时间后过A点，测得OA与x轴正方向的夹角为45°，求该粒子经过OA中点正下方时的速度.

解设P点位于OA的中点正下方，该点为OA过程中间时刻点，则根据推论1知，该点速度v必与OA平行，将v分解如图3，则有tan45°=vy1v0，故vy=v0.

推论2做匀变速曲线运动的物体，任意时间t的中间时刻所处的位置必与该段过程始末点连线相距最远.

证明由于做匀变速曲线运动的物体，任意时间t的中间时刻速度必与该段时间内的位移方向相同，即与这段过程始末点连线平行，垂直于该过程始末点连线方向分速度为零，故这时距该过程始末点连线最远.

例3如图4，从倾角为θ的斜面顶端以v0的初速度水平抛出一个可视为质点的小球，经t时间后小球落在斜面上.①求小球离开斜面的最远距离.②若v0未知，求小球离开斜面的最远距离.

解①小球离开斜面的最远距离设为d.将小球的初速度和加速度如图4分解.

则2gyd=v20y，

解得d=v00y12gy=v20sin2θ12gcosθ.

②由推论2知，t12时刻小球离开斜面最远，则从该时刻之后的过程满足

d=112gy（t12）2=t218gcosθ，

其中，第②问的解也适用于第①问.

6结语

前述研究发现，匀变速运动遵循统一的规律，而矢量化的分析方法则让我们无须借助高等数学方法就能用统一表达式表述匀变速运动的规律，从而得以从整体角度概览匀变速运动的全貌，进而揭示这些规律背后的动力学原因，体会物理规律的统一、和谐之美.最后的两个推论事实上是对匀变速运动规律物理意义的深入解读，也为匀变速运动规律的应用打开了一扇窗口.

【本文为2013年首界贵州省教育科学规划课题（编号：2013C002的阶段性成果）.】