互为反函数的函数图象的交点位置的初探

定理1一般地,函数y=f(x)的图象与它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.

上述定理描述了互为反函数的函数图象间的位置关系,在高考试题和各地高考模拟试题中有大量的关于此定理的应用问题,同时也出现了互为反函数的两个函数图象的交点问题.那么互为反函数的两个函数图象的交点的情形到底如何呢?本文将对互为反函数的函数图象的交点位置进行初步探讨.

我们先来看两道例题:

x=1y=1,故交点坐标为(0,0),(1,1)。

可能是点( )

(A)P(B)Q(C)M(D)N

分析若函数y=ax存在反函数,则必有01,此时其反函数为y=logax点P(1,1)不可能在函数y=ax的图象上,故排除(A);若点Q(1,2)在函数y=ax的图象上,则a=2,而log21=0≠2,点Q(1,2)不在其反反函数的图象的公共点.

从以上两例中,我们发现:[例1]中两函数图象的交点都在直线y=x上,[例2]中两函数图象出现了不在直线y=x上但却关于直线y=x对称的交点.因此,关于互为反函数的两个函数图象的交点的位置关系可表述为:

定理2 互为反函数的两函数的图象若有交点,则交点必在直线y=x上,或关于直线y=x对称.

证明:设点(a,b)是函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的交点,若a=b,则点(a,b)在直线y=x上,所以此时这两个函数图象的交点在直线y=x上;若a≠b,则有f(a)=b,f-1(a)=b,故f-1(b)=a,f(b)=a,即点(b,a)也是这两个函数图象的交点,所以此时这两函数的图象的交点关于直线y=x对称.

对于[例1]经常出现这样的解法(我们不妨称为解法二):若原函数的图象与直线y=x有交点,则此时的交点必为为(0,0),(1,1)。可发现此解法与[例1]中的结论完全一致!那么在什么情况下,互为反函数的两函数的图象的交点才完全落在直线y=x上呢?比较[例1]与[例2]可发现,[例1]中的函数为增函数,[例2]中的函数为减函数,我们可以做这样的猜想:若函数y=f(x)为增函数,且函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象有交点,则交点必在直线y=x上。

证明:假设点(a,b)是函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)图象的交点,且a≠b,则由定理2知,点(b, a)也是函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)图象的交点,故f(a)=b ,f(b)= a。a≠b,不妨设a

定理3若函数y=f(x)为增函数,且函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象有交点,则交点必在直线y=x上.

由定理3可知[例1]的解法二正确。

推论若函数y=f(x)为增函数,则方程f [f(x)] = x等价于方程f(x)=f-1(x),也等价于方程f(x)=x.

x=2。

由[例2]的结果,不禁会想:互为反函数的两个函数图象出现了不在直线y=x上但却关于直线y=x对称的交点,那么这个函数是否为减函数呢?现对此猜想的条件加强,可得到如下定理:

定理4若函数y=f(x)为单调增函数,且函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象存在不在直线y=x上的交点,则函数y=f(x)必为减函数。

证明:设点(a,b)是函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)图象的交点,且a≠b,则由定理2知,点(b, a)也是函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)图象的交点,故f(a)=b ,f(b)= a。a≠b,不妨设af(b) 又函数y=f(x)为单调函数,函数y=f(x)为减函数。

总结互为反函数的两个函数图象交点的位置情况多种多样,不过我们可以明确以下几点:1、互为反函数的两函数的图象若有交点,则交点必在直线y=x上,或关于直线y=x对称;2、若函数y=f(x)为增函数,且函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象有交点,则交点必在直线y=x上;3、若函数y=f(x)为单调增函数,且函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象存在不在直线y=x上的交点,则函数y=f(x)必为减函数。