GeoGebra在二次函数学习中的作用

摘 要：GeoGebra是一套结合几何、代数、数据表、图形、统计和计算的动态数学软件，功能十分复杂和庞大，用户不可能也没有必要掌握其所有功能，掌握几个特殊的指令，如Fitpoly、Extremum、PerpendicularLine、Root、Intersect等，就会受益非浅，在处理有关二次函数的问题时达到事半功倍的效果。

关键词：GeoGebra；二次函数；动态几何软件；Fitpoly；Extremum；Root；Intersect

中图分类号：TP301.5 文献标识码：A 文章编号：16727800（2013）003004902

0 引言

动态几何软件“几何画板”、“超级画板”向学生展示了几何图形在运动中的不变规律，轻松验证了一些定义、定理及公理，成为数学及物理教师的得力助手，也成为教师制作课件，向学生展示动态问题的有力工具。

GeoGebra作为一套结合几何、代数及微积分的动态几何软件，不仅能完成“几何画板”“超级画板”的所有功能，并且是学生学次函数的神兵利器——“函数计算器”，为学生学次函数扫清障碍，鼓起学生学习函数的信心和勇气，为初中及高中知识点的顺利衔接过渡作好铺垫，本文着重讲解GeoGebra在解决二次函数中与其它动态软件不同的作法。

1 用描点法画出二次函数的图像

用描点法画出二次函数的图像是数学教学的基本要求和学生必备的基本能力，需要学生静下心来，动手操作，但列表及描点的烦琐，使学生和教师感到枯燥，即浪费时间又没有成就感，忽视了画图过程，把精力放在了二次函数图像的性质上，失去了展现函数图像生成的过程，也失去了向学生渗透数形结合的数学思想方法的一个好契机。以至于学生说起来头头是道，实际动手画图能力很差，在解决有关图像绘制方面的习题中，出现或多或少的失误，得分不高。

例1：画函数y=12x2-6x+21的图像

作法：

（1）在工作表区（工作表区所起作用与Microsoft Office Excel的功能相似，可以减轻学生计算负担）中输入。

x 3 4 5 6 7 8 9

y=1 2x2-6x+21 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5

（2）选择两列数据，并点击右键—新增—点集，便会在作图区呈现散点图，在代数区同时出现点列表list1。

（3）在输入区输入数据拟合命令Fitpoly＼[list1，2＼]（list是点集列表名称，list1表示第一个点列表，list2表示第二个点列表，listn表示第n个点列表，数字2表明是二次拟合函数，该命令也可以做出过任意n+1个点的n次拟合曲线）并回车，在几何作图区，便会呈现二次函数的图像。

图1 画函数图像

2 用a，b，c控制二次函数y=ax2+bx+c的图像，探究图像性质 （1）点击在几何作图区，点击3次，建立a，b，c 3个变量，用标杆控制变量a，b，c的变化。

（2）在输入区输入f（x）=ax2+bx+c，在几何作图区作出二次函数的图像（f（x）是高中函数的表示方法，在初中用y来表示，从这里可以看出学一学GeoGebra有助于初高中知识点的衔接）。

（3）拖动a，b，c的标杆，观察a，b，c对二次函数图像的影响，引导学生探究a，b，c对二次函数的影响规律，得出二次函数的性质。

图2 探究图像性质

3 求二次函数解析式

学生求二次函数解析式，很苦恼的一件事情就是计算，枯燥乏味的练习成为学生学习数学的拦路虎， GeoGebra作为函数学习的神兵利器，它强大的计算功能很好地满足了学生在二次函数计算方面的需要。

例2：如果一个二次函数经过A（-1，10），B（1，4），C（1，7），试求二次函数的解析式。

做法：

（1）在输入区输入A=（-1，10）回车，B=（1，4）回车，C=（1，7）回车，在几何作图区出现A、B、C三点。

（2）在输入区输入Fitpoly＼[A，B，C，2＼]，在几何作图区呈现所求的经过A、B、C三点的二次函数的图像。

（3）用鼠标右键点击图像—属性—显示标签—名称和数值，在图像上就会显示所画图像的解析式。

A，B，C三点既可以是已知的也可以是任意的，用鼠标点击，在几何作图区任意位置，点击3次，得到A，B，C三点，输入数据拟合命令Fitpoly＼[A，B，C，2＼]，在几何作图区，便会呈现过任意3点A，B，C的抛物线解析式及图像。

图3 求二次函数解析式

4 求二次函数的对称轴及顶点坐标

例3：画出y=x2-2x-4的图像，并求出它的顶点、对称轴及与x轴交点。

作法：

（1）在输入区输入f（x）=x2-2x-4作出二次函数图像。

（2）求顶点，输入极值命令Extremum＼[f＼]（f是二次函数的名称）在二次函数图像上呈现顶点A，可以利用点的属性使其显示坐标数值。

（3）画对称轴，输入垂线命令PerpendicularLine＼[A， X轴＼]（A表示点名称）画出二次函数的对称轴，修改它的属性，使垂线变为虚线。

（4）输入求根命令Root＼[f＼]，画出f（x）=x2-2x-4与x轴交点，展现交点坐标。

图4 求二次函数的对称轴及顶点坐标

求二次函数与x轴交点坐标，极值及顶点坐标，计算量大且烦琐，但在GeoGebra面前，竞自动完成，非常方便实用。

5 求二次函数大于0及小于0范围

例4：画出函数y=x2-2x-3的图像。

①x取什么值时，函数值大于0；②x取什么值时，函数值小于0。

作法：

（1）输入f（x）=x2-2x-3。

（2）输入f>0，求出大于零的范围。

（3）输入f

图5 求二次函数大于0及小于0的范围

6 求函数图像交点

求函数图像的交点，在几何画板和超级画板面前变得有些无能为力，需要教师充分计算，而后作出点的坐标，计算量大、容易出错，且时效性很差，但这一难题在GeoGebra面前是却非常简单。

例5： 利用函数图象求y=x2与y=3x+2的交点。

作法：

（1）在输入区输入f（x）=x2，g（x）=3x+2。

（2）输入交点命令Intersect＼[f，g＼]，画出两函数的交点。

（3）右键点击点A，选择属性—显示标签—名称和数值，显示出点A，B的坐标。

图6 求函数图像交点

利用此思路，可求出各种函数之间的交点坐标。

7 结语

二次函数是初等函数的重要内容，是中考的重中之重，是初高中知识点衔接的内容之一，是学生学习的难点，传统的一支粉笔、一把直尺很明显不能满足于当代的教学要求，梦想通过几个幻灯片，苍白地向学生展示几个二次函数的图像就能得到函数的一切，也有点异想天开。

数学来源于实践，是现实世界的客观反映，充分利用GeoGebra软件的功能，从现实世界中抽象出各种数学模型，使学生全身心投入到探究活动之中，拓展他们的思维，才能使我们的课堂变成探究式的课堂，学生才能真正成为课堂的主人。

参考文献：

＼[1＼] MARKUS HOHENWARTER， JUDITH HOENWARTER. GeoGebra官方说明手册＼[S＼].2009.

＼[2＼] 郭衎，曹一鸣.动态数学软件GeoGebra使用指南＼[J＼].中学数学教学参考：上旬，2012（1）.