对一道常系数线性微分方程组的解法研究

设 ,试求方程 满足初值条件 的解 . 分析题意:特征方程 的根,解之可得 . 对应于 的特征向量 必须满足线性代数方程组 .于是, 是对应于 的特征向量. 类似地,可求

得对应于的特征向量为.

于是矩阵就是一个基解矩阵.

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*资助课题:安康学院大学生科技创新项目(2009AKXYDXS06);安康学院重点扶持学科建设项目(AZXZ0107).

解法1:由以上所求可知基解矩阵,得:

,则.

将已知数据代入公式:,利用得:

.

解法2:由得:

.

将其代入公式,利用得:

最后我们可得:.

从以上两种解法中可看出,运用不同的公式,选择不同的基解矩阵,则得到不同的解法,显然解法2其积分较解法1更简单,另外我们还可用拉普拉斯变换进行求解.

解法3:令,对方程组施行拉普拉斯变换得到:

由此解得:

取反变换或查拉普拉斯变换表即得:

.

解法3中巧妙地减少了积分过程,较解法1和解法2都简单.但是要将像函数化为“可查拉普拉斯变换表”的函数形式有一定的难度.下面通过常数变易法,给出一种新的解法.

解法4:由基解矩阵:

设非齐次方程有下列形式的特解:

其中,满足:

解之可得:.

于是,

因此,非齐次方程组的通解为:.

当t=0时,

即有:,解之可得:.

所以,所求初值问题的解为:

.

解法4运用逆向思维,较前三种方法更易理解.综上所述四种方法,均能得到正确结果,为了简便起见,下面通过复数变换,给出另一种新的解法.

解法5:将方程组化为一阶线性方程【2】:

令,则上式可化简为.

令,将其代入公式:中可得:

.

由代入上式可得:.

则解得:.

所以,

综上所述可得:

.

解法5不仅新颖,更重要的是此方法可将方程组化为可解的一阶线性方程,其过程简单明了.

方程组可化为复数形式()的本质与矩阵的元素满足:a=c,b=-d.于是有更为广义的结论,即:

定理 对于方程组, (1)通过复数变换,可化为一阶线性方程

(2)

因此,通过对常微分方程解法的研究,对于培养大学生的创新能力以及综合知识的运用起到非常关键的作用,我们要学会在生活中发现数学美,体会数学的乐趣.

参考文献:

【1】王高雄,周之铭,朱思铭等.常微分方程(第三版)【M】.北京:高等教育出版社.2006.7

【2】赵临龙.常微分方程研究新论【M】.西安:西安地图出版社.2000.1