正方形的“自我复制”

美国的马丁・加德纳先生是一位擅长攻克智力题的大师。作为一名大师，他并不是普通意义上的数学家。每当数学界有了新的发现，他都非常关心，而且往往像接力赛那样接过来，在趣味数学方面继续探讨。他的题目既有广度又有深度，真正做到了雅俗共赏。

有一次，美国南加利福尼亚大学的所罗门・戈洛姆教授对一类能“自我复制”的图形进行研究。所谓“自我复制”，就是某个图形能被划分成若干个更小的全等图形，它们相互间不但面积相等、形状相同，而且和原图形也是相似的。最简单的例子就是：任何正方形都可以一分为四，成为四个更小的正方形，如图①所示。

还有缺掉一角的正方形，也就是L形，以及“狮身人面像”那样的图形也都有这种性质。它们都能一分为四，并且永远这样复制下去。能“自我复制”的图形在几何学中颇引人注目，马丁对此也相当关注。他同样也提出过1个如图②所示的图形。这是由6个正方形组成的多边形，也是1个能“自我复制”的图形。马丁居然把它分成了144个更小的全等图形。还有一位罗伯特・雷德把它分成为36个小块（图③），让大家叹为观止。

不过，我们今天主要是想介绍马丁・加德纳先生把正方形一分为三的办法。当然，谁都知道正方形是不可能分成3个较小正方形的。但是马丁降低了条件，他只要求把1个正方形分成3个小图形并相似即可，它们的面积可大可小，并不强求。特别是绝对不要求和原来的正方形相似。

那么，如果用2条竖线把正方形一分为三如何？如图④所示。

凡事都是由简至繁，由浅入深的。图④完全能满足马丁原先的要求，所以不能因为太简单而抛弃它。接着马丁就考虑能否把正方形再分成3个不一样大小的矩形。为直观起见，他把正方形画成6×6的方阵，然后沿着格线就轻而易举地实现了目标，如图⑤所示。

“这并不难，我也能做得到！”如果你能这么想就太好了。不过你得注意那2个小矩形和较大的矩形是否相似。定神一看，没想到小矩形的长和宽都是大矩形长和宽的 ，这是相似形成立的必要条件：对应边的比例必须一样。

能不能把正方形分成大中小3个不同的矩形，使它们的形状也相似？这就得好好动动脑筋了。现在再依靠格线来划分就很困难，于是马丁在纸上先随意涂抹起来，结果他画出了图⑥。

这里有3个大小不同的矩形，好像也彼此相似。不过，从数学角度来说，这得加以证明才行。结果马丁解决了这一问题：3个矩形的长宽比都等于1∶0.56984（证明从略）。

马丁还设计了2个L形的解，那比较简单，通过格线基本就能解决了。如图⑦和图⑧所示。

谁都能一眼看出：2个小L形都是全等的。而它们和大L形的各边比例也都相等。你不妨自己检验一下。

马丁又给自己提出任务了。因为以上图形的分割线全是横线或竖线。那么，能不能用斜线来分割图形呢？当然能！最容易的就是图⑨。

原来，只要利用2条对角线就能把正方形分成3个等腰直角三角形！

现在，马丁设想可以把正方形分成3个梯形，而且是直角梯形，如图⑩所示。这能成功吗？能，马丁进行了详细的推导，证明可以这样分（推导从略）。

马丁的数学功底在这里得到了充分的运用，数学大师真是名不虚传。不过，你还能构思出把正方形一分为三的不同方案吗？赶快把你的灵感发给我们吧！微信互动，更有惊喜礼物哟！