正方形与圆的面积之间的关系

摘要:正方形中画最大的圆，正方形面积与圆面积的比就是4：π；圆中画最大的正方形，圆的面积与正方形面积的比就是π：2。运用这两个比可以快速地解决一些实际问题。

关键词:正方形;圆;面积;关系

在西师版九年制义务教育小学数学六年级上期第二单元《圆》中，经常都要解决 “正方形与圆的面积” 有关的一类问题。这两者之间有什么内在联系呢？下面就来探究这些问题。

一、正方形中画一个最大的圆，正方形面积与圆面积的关系。

【问题】在一个正方形中画一个最大的圆，正方形面积与圆面积的之间有什么关系呢？

【探究】正方形中画一个最大的圆（如图1），

这个圆的直径就等于正方形的边长。设圆的

半径为r，那么圆的面积为πr2,正方形的

边长为2r，面积为4 r2, 正方形面积与圆

面积的比就是4：π。

【应用】1.在一张边长为8厘米的正方形纸片中，

剪一个最大的圆，剪掉部分的面积是多少平方厘米？

分析：正方形的边长为8厘米，那么正方形的面积

就是8×8=64（平方厘米）。由于正方形面积是4份，

求出1份的面积，圆的面积是3.14份，剪掉部分的面积就是（4－3.14）份，从而得解。

解： 8×8÷4×（4－3.14）

=16×0.86=13.76（平方厘米）

答：剪掉部分的面积是13.76平方厘米。

2. 在一张正方形纸片中，剪一个最大的圆，剪掉部分的面积是8.6平方厘米。这个圆的面积是多少平方厘米？

分析：剪掉部分的面积是8.6平方厘米，它对应的就是（4－3.14）份，可以求出1份的面积。根据圆的面积是3.14份可以得解。

解： 8.6÷（4－3.14）×3.14

=8.6÷0.86×3.14

=10×3.14=31.4（平方厘米）

答：这个圆的面积是3.14平方厘米。

二、圆中画一个最大的正方形，圆面积与正方形面积的关系。

【问题】一个圆中画一个最大的正方形，圆面积与正方形面积之间有什么关系呢？

【探究】圆中画一个最大的正方形（如图2），

这个正方形的对角线长就等于圆的直径。设圆

的半径为r，那么圆的面积为πr2,正方形的

对角线长为2r，面积为2r×2r÷2=2 r2,圆的

面积与正方形面积的比就是π：2。

【应用】1. 在一张直径为8厘米的圆形纸片中，

剪一个最大的正方形，剪掉部分的面积是多少平方厘米？

分析：圆的直径是8厘米，那么正方形的对角线长就是8厘米，正方形的面积就是8×8÷2=32（平方厘米），由于正方形的面积是2份 ，求出1份的面积，圆的面积是3.14份，剪掉部分的面积就是（3.14－2）份，从而得解。

解：（8×8÷2）÷2×（3.14－2）

=32÷2×1.14

=16×1.14=18.24（平方厘米）

答：剪掉部分的面积是18.24平方厘米。

2. 在一张圆形纸片中，剪一个最大的正方形，剪掉部分的面积是3.42平方厘米。这个圆的面积是多少平方厘米？

分析：剪掉部分的面积是3.42平方厘米，对应的就是（3.14－2）份，可以求出1份的面积。根据圆的面积是3.14份可以得解。

解：3.42÷（3.14－2）×3.14

=3.42÷1.14×3.14=9.42（平方厘米）

答：这个圆的面积是9.42平方厘米。

三、正方形中画一个最大的圆，圆中再画一个最大的正方形，两个正方形面积的关系。

【问题】正方形中画一个最大的圆，圆中再画一个

最大的正方形，这两个正方形面积之间有什么关系呢？

【探究】正方形中画一个最大的圆，再在圆里画一

个最大的正方形，（如图3），因为大正方形面积与圆面

积的比就是4：π，圆的面积与小正方形面积的比就是

π：2，所以大正方形面积与小正方形面积之比是2:1。

【拓展】用直尺和圆规画一个正方形，使它的面积

等于另一个正方形面积的一半。

四、圆中画一个最大的正方形，正方形中再画一个最大的圆，两个圆面积的关系。

【问题】圆中画一个最大的正方形，正方形中再画

一个最大的圆，这两个圆面积之间有什么关系呢？

【探究】圆中画一个最大的正方形，正方形中再画一

个最大的圆（如图4），因为大圆面积与正方形面积的比

就是π：2，正方形面积与小圆面积的比就是4：π，所

以大圆面积与小圆面积之比是2:1。

【拓展】用直尺和圆规画一个圆，使它的面积等于另一

个圆面积的一半。

五、在同样大的正方形中画4个或者9个最大的圆，剩下部分面积的关系。

【问题】有两个同样大的正方形，一个正方形中画4个最大的圆（如图5），另一个正方形中画9个最大的圆（如图6）。两个正方形中空白部分面积之间有什么关系呢？

【探究】因为这两个正方形是同样大的，所以它们的边长相等，面积也相等。图5和图6中的圆的半径之比是3:2，面积之比是9:4。因此，图5中4个圆的面积之和与图6中9个圆面积之和相等，空白部分的面积也相等。

【拓展】在同样大的正方形中分别画16个、25个、36个最大的圆，剩下部分的面积是否也相等呢？