“藏起来”的线性规划

从这两年的试题来看，有些问题乍一看与线性规划毫无关系，但最终都可转化成线性规划的问题来解决

一、向量中的线性规划

例1（南京市2012届高三第一次调研测试）如图1，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC中点若N为正方形内（含边界）任意一点，求AM·AN的最大值

解：以A为坐标原点、AB所在直线为x轴建立如图2所示的

平面直角坐标系，则M点的坐标为（2，1）设N（x，y），则

N点所在区域由不等式组

确定，将x=2，y=2代入2x+y求得

最大值等于6

二、数列中的线性规划

例2 （苏州、无锡、常州、镇江2012届高三一模试题）等差数列

解：设此等差数列的首项为a，公差为d，

则

目标函数的范围如图3所示，可行域中两直线的交点坐标是（29，-2），

代入得a12=a+11d

的最大值是7故

三、导数中的线性规划

例3已知函数

[-1，3]上是减函数，求a+b的最小值

解：因为f（x）在区间[-1，3]上是减函数，所以f ′（x） 在区间

作出可行域（图4），求得a+b的最小值为2

四、函数单调性中的线性规划

例4定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且为奇函数，若实数s，t满足不等式f（s2-2s）≥f（2t-t2）

，则当1≤s≤4时，求

3t+s的取值范围

解：因为f（x）是奇函数，

所以-f（2t-t2）=f（t2-2t）又y=f（x）是增函数，且

所表示的可行域（图5）将边界点A、B、C的坐标分别代入求得

3t+4的值

，比较得最大值和最小值分别为16、-2所以-2≤3t+s≤16

五、方程根的分布中的线性规划

例5已知

方程

x2-mx+n=0两根为

α，β，且

1≤α≤2≤β，求m2+n2的取值范围

解：设

f（x）=x2-mx+n，由已知得方程

x2-mx+n=0的一根在区间[1，2）内，另一根在区间

[2，+∞）内，因此

作出其可行域（图6）图中阴影部分的点到原点O的距离的最小值为

13，故

m2+n2的取值范围是

[13，+∞）

六、复数中的线性规划

例6（2012届高三同心圆梦模拟一）

复数

可行域如图7所示，将mn看成可行域内的点与原点O连线的斜率，求得

七、三角形三边关系中的线性规划

例7（苏州市2011届高三第一学期期末调研试题）已知ABC的三边长为a，b，c且满足

b+2c≤3a，c+2a≤3b，

求ba的取值范围

解：因为a，b，c是三角形的三边，

所以a+b>c，

|a-b|

可行域如图8所示

将ba看成可行域内的点（a，b）与原点连线的斜率，

b-0a-0

的最大值为

八、直角三角形中的线性规划

例8直角三角形的三边长分别是7，24，25，P是其形内（包括边界）的一点，求P点到三边距离之和的最大值与最小值

解：不妨设三角形三边为AC=7，BC=24，AB=25，以直角顶点为坐标原点，建立如图9所示的平面直角坐标系，则AB的方程为

即7x+24y-168=0设ABC形内（包括边界）

一点为P（x，y），它到三边的距离之和为

所确定的可行域组成将A（0，7）、B（24，0）、C（0，0）代入d中，当x=24，y=0时求得d的最大值等于24；当x=0，y=0时求得d的最小值等于

所以P点到三边距离之和的最大值等于24，最小值等于

九、不等式中的线性规划

例9已知实数a，b满足

a≥10，

a2b的最大值为n，最小值是m，求

nm的值

解：由题得a>0，b>0，将条件取常用对数，得

在此条件下求z =2x+y的最大值与最小值

可行域如图10所示，求得

，因此

综上所述，线性规划的考查已不再局限于线性规划本身，它的应用特点是：从“范围到范围”，即条件以“范围”、结论也以“范围（最值）”为特征这类试题近两年频频出现在数学的各个领域，成为试卷中一道靓丽的风景