第六讲 图形与坐标

平面直角坐标系不仅架起了数与形之间的桥梁，而且加强了知识之间的相互联系.这类试题多以选择题、填空题呈现，现将其常考知识点分析如下，供你复习时参考.

考点1 判断点所在象限

例1 （2013年淄博卷）如果m是任意实数，则点P（m-4，m+1）一定不在（ ）.

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

解：（m+1）-（m-4）=m+1-m+4=5， 点P的纵坐标一定大于横坐标，

第四象限点的横坐标一定大于纵坐标，

点P一定不在第四象限.故选D.

温馨小提示：掌握象限内点的坐标特征是解题的关键.

考点2 对称点的坐标

例2 （2013年常州卷）已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是 ，点P关于原点O的对称点P2的坐标是 .

解：点P（3，2）关于y轴的对称点P1的坐标是（-3，2）；

点P关于原点O的对称点P2的坐标是（-3，-2）.

故答案为：（-3，2）；（-3，-2）.

温馨小提示：关于x轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称点的坐标，横、纵坐标都互为相反数.掌握对称点的坐标特征是解决这类问题的关键.

考点3 用坐标定位置

例3 （2013年邵阳卷）如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城步南山的位置可以表示为（ ）.

A. （2，1） B. （0，1） C. （-2，-1） D. （-2，1）

解：建立平面直角坐标系如图，城步南山的位置为（-2，-1）.故选C.

温馨小提示：借助于网格线，将点的位置数量化.解决问题的关键是建立正确的坐标系，理解有序实数对与点的对应关系.

考点4 坐标与平移

例4 （2013年广安卷）将点A（-1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度后得到点A′的坐标为 .

解：点A（-1，2）沿x轴向右平移3个单位，再沿y轴向下平移4个单位后得到点A′，

A′的坐标是（-1+3，2-4），即为（2，-2）.故答案为：（2，-2）.

温馨小提示：点向右（左）平移，横坐标相加（减），纵坐标不变；点向上（下）平移，纵坐标相加（减），横坐标不变.解决问题的关键是掌握坐标系中点的平移与坐标的变化规律.

考点5 坐标与旋转

例5 （2013年牡丹江卷）如图1，ABO中，ABOB，OB= ，AB=1，把ABO绕点O旋转150°后得到A1B1O，则点A1的坐标为（ ）.

A.（-1，- ） B.（-1，- ）或（-2，0）

C.（- ，-1）（- ， ）或（0，-2） D.（- ，-1）

解：ABO中， tan∠AOB= = ，∠AOB=30°.

如图2，当ABO绕点O顺时针旋转150°后得到A1B1O时，

∠A1OC=150°-∠AOB-∠BOC=150°-30°-90°=30°，易求A1（-1，- ）；

如图3，当ABO绕点O逆时针旋转150°后得到A1B1O时，

∠AOA′+∠AOB=150°+30°=180°，A′点在x轴上，易求A1（-2，0）.

综上所述，点A1的坐标为（-1，- ）或（-2，0）. 选B.

温馨小提示：明确旋转的性质，正确画出图形，构造出直角三角形是解题的前提，准确找出对应点的位置是解题的关键.由于没有明确旋转方向，所以要分类讨论，以防漏解.

考点6 坐标与规律探索

例6 （2013年德州卷）如图4，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）.

A.（1，4） B.（5，0） C.（6，4） D.（8，3）

解：如图5，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），

2013÷6=335……3，

当点P第2013次碰到矩形的边时与第3次反弹点的坐标相同，点P的坐标为（8，3）.

故选D.

温馨小提示：从特殊情况出发，通过分析、大胆的猜想或运算，归纳得出一般性的结论.

考点7 坐标与最值

例7 （2013年济宁卷）如图6，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时，点C的坐标

是 .

解：作B点关于y轴的对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，

此时ABC的周长最小.

点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），

B′点坐标为（-3，0），AE=4，则B′E=4，即B′E=AE，

C′O∥AE， B′O=C′O=3，

点C′的坐标是（0，3），此时ABC的周长最小.故填（0，3）.

温馨小提示：本题充分利用转化思想，将线段和的最值转化为“两点之间，线段最短”问题，抓住其中的“不变因素”，以“不变”应“万变”，构造三点共线解题.