利用数学知识 解决实际问题

应用数学知识去解决实际问题，常常需要在数学理论和实际问题之间构建一个桥梁来加以沟通，这个桥梁就是数学模型．现以2008年部分中考题为例，加以说明数学建模在实际生活中的具体应用.

一、构建方程(组)模型

例1（08德州市考题）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒.该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？

分析：本例可通过构建方程组模型解决．

解：设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套.根据题意，得

4x+5y=20000 ①3x+10y=30000 ②

①×2-②得：5x=10000，

x=2000．

把x=2000代入①得：5y=12000．

y=2400．

答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套

二、构建不等式(组)模型

例2（08佛山市考题）某地为四川省汶川大地震灾区进行募捐，共收到粮食100吨，副食品54吨. 现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批货物全部运往汶川，已知一辆甲种货车同时可装粮食20吨、副食品6吨，一辆乙种货车同时可装粮食8吨、副食品8吨.

（1）将这些货物一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？

（2）若甲种货车每辆付运输费1300元，乙种货车每辆付运输费1000元，要使运输总费用最少，应选择哪种方案？

分析：由于甲、乙两种车辆的载重量一定知的，故可通过设未知数构建不等式模型，确定最佳方案.

解：（1） 设租用甲种货车x辆，则乙种货车为y辆.

依题意，得：20x+8（8-x）≥1006x+8（8-x）≥54，

解不等式组，得3≤x≤5，

这样的方案有3种：甲种货车分别租3，4，5辆，乙种货车分别租5，4，3辆；

（2）总运费s=1300x+1000（8-x）=300x+8000，

因为s随着x增大而增大，所以当x=3时，总运费y最少，为8900元.

三、构建函数模型

例3（08茂名市考题）我市某工艺厂为配合北京运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．

经过调查，得到如下数据：

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）

（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

分析：先由待定系数法求出一次函数的解析式，它表示的是销售量与单价之间的关系，再由利润公式求得利润的函数，并求它的最大值.

解：（1）画图如右图；

由图可猜想y与x是一次函数关系，

设一次函数为y=kx+b（k≠0），

这个一次函数的图象经过（30，500），（40，400）这两点，

500=30k+b400=40k+b，解得k=-10b=800，

函数关系式是：y=－10x+800；

（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：

W=（x－20）（－10x+800）

=－10 x2+1000 -16000

=－10（x－50）2 +9000

当x=50时，W有最大值9000，

所以，当销售单价定为50元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元；

（3）对于函数 W=－10（x－50）2+9000，当x≤45时，

W的值随着x值的增大而增大，

销售单价定为45元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．

点评：函数揭示了现实世界数量关系和运动、变化规律．对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如用料最省、成本最低、利润最大等，可以构建立函数模型，转化为求函数的最值问题．

四、构建几何模型

例4（08河北省考题）在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=a（km）（a＞1）.现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BPl于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A'与点A关于l对称， 与A'B交l于点P）．

观察计算

（1）在方案一中， d1= km（用含a的式子表示）；

（2）在方案二中，小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=km（用含a的式子表示）．

探索归纳

（1）①当a=4时，比较大小：d1d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；

②当a=6时，比较大小：d1d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；

（2）请你参考下边方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？

分析：本题可化为线段最短问题，可通过构建轴对称几何模型，最比较线段长度的大小.

解：（1）a+2；（2）．

探索归纳

（1）①＜；②＞；

（2）d12-d22=（a+2）2-（）2=4a-20，

①当4a-20>0，即a>5时，d12-d22>0，d1-d2>0，d1>d2；

②当4a-20=0，即a=5时，d12-d22=0，d1-d2=0，d1=d2；

③当4a-20

综上可知：当a>5时，选方案二；

当a=5时，选方案一或方案二；

当1