基于偏微分方程的彩色图像去噪综合模型

摘要: 把结合了二阶偏微分方程ROF模型和四阶偏微分方程LLT模型的去噪综合模型从灰度图像推广到彩色图像.在RGB彩色空间中，依次对每个彩色分量进行去噪处理，然后再合成彩色图像.实验结果表明，综合模型在去噪效果和细节保护方面都有较好的表现.

关键词: 图像去噪；彩色图像；偏微分方程；综合模型

中图分类号:TP 391

文献标志码:A文章编号:1672-8513(2011)06-0497-03

Combined Model for Color Image Denoising Based on the Partial Differential Equation

DU Hongwei，ZHANG Yi

(Department of Industry and Information Technology,Yunnan Vocational College of Mechanical and Electrical Technology, Kunming 650203, China）

Abstract: This research brings up a combined model for image denoising based on the partial differential equation from the gray image to color images. In the RGB color space, it sequentially carries out each color component denoising, and then combines them to form color images. The experiment results show that the combined model has better performance in denoising and protection of the details.

Key words: image denoising; color image; partial differential equation; combined model

采用偏微分方程（Partial Differential Equations，PDE）处理图像的方法经过20多年的发展，已积累了丰富的研究成果[1-2].文献［3］中提出了联合二阶ROF模型和四阶LLT模型对灰度图像进行去噪的综合模型，取得了较好的效果.综合模型能较好地去除噪声，同时保护平滑区域，抑制“阶梯效应”，对图像边缘和纹理细节也有一定的保护能力，它避免了ROF和LLT模型的缺点，又融合了它们的优点.由于彩色图像的应用更加广泛，所以本文进一步把综合模型的去噪方法从灰度图像推广到彩色图像.

1 ROF模型和LLT模型

1992年， Rudin、Osher 和Fatemi[4]提出了一种用二阶偏微分方程去噪的模型，称之为ROF模型.其基本思想是带噪图像的总变分总是大于无噪图像的总变分.因此，ROF模型可表示为以下优化问题：

其中D2u=u2xx+u2xy+u2yx+u2yy.

该模型的优点是能保护平滑区域，抑制“阶梯效应”，并且能较好地保护纹理细节.其缺点是去噪效率相对较低，对图像的边缘保护能力差[3].

2 综合模型

2008年，杜宏伟等[3]提出了结合二阶偏微分方程ROF模型和四阶偏微分方程LLT模型的去噪综合模型[3]，该模型用权函数θ把ROF模型和LLT模型联接起来，

minu E(u)， E(u)=ΩθDu+(1－θ)D2u+λu0－u2dxdy,

θ∈［0,1］. (5)

在实际计算时，这个优化问题不容易直接处理，因此采用如下方法：对同一图像，分别计算ROF模型和LLT模型，然后再把它们的解进行合并.

设u、v分别是ROF和LLT模型的解，利用权函数θ把u和v进行凸合并得到综合模型的解

w=θu+(1－θ)v,θ∈［0,1］.(6)

其中，

θnew=1,if Δw≥c,12cos(2πΔwc)+12, else .(7)

这里，w=θoldu+(1－θold)v，θold是上一次迭代时的权值.在第1次迭代时应给θ赋初值.

该权函数的选取使得综合模型融合了二、四阶模型的优点，抑制了缺点.其特点是：①在图像边缘，Δw的值偏大；在平坦区域，Δw的值偏小，而这2种情况下θ都趋近于1，故加强了二阶PDE的作用.②在渐变区域，Δw的值适中，θ接近于0，故加强了四阶PDE的作用.其中的参数c应调整到在渐变区域使θ达到最小值0.通过实验发现，当Δw∈［0,1］时，c∈［0.05,0.2］是较适合的选择，此时，渐变区域被保护，同时“阶梯效应”被抑制.

彩色图像的表示一般采用RGB彩色空间，它由红绿蓝3个彩色分量构成，每个分量也相当于1幅灰度图像.彩色图像的噪声可能在3个分量中被同时引入，也可能在某一个分量被引入，引入的噪声在不同的分量可能相同，也可能不同.因此在用综合模型去噪时，首先从RGB三维矩阵中分离出每个分量，然后分别在每个分量上进行去噪处理，最后再把处理后的3个分量合成彩色图像[11].彩色图像如果按照彩色分量分别去噪，因为每个分量都相当于1幅灰度图像，所以综合模型的优点也应该能在每个分量上实现.

因此，在对彩色图像去噪时，采用RGB彩色空间更有利于噪声的去除.这里主要考虑加性高斯白噪声.彩色图像的综合去噪模型由算法1和算法2实现.

算法1 彩色图像综合去噪算法

输入：待去噪的彩色图像I;

输出：去噪后的彩色图像J;

步骤1：从彩色图像I的RGB空间中分离出I的3个彩色分量：IR，IG，IB;

步骤2：对3个分量分别调用综合模型算法进行处理，得到分量的去噪结果JR,JG,JB.

步骤3：合成JR,JG,JB得到去噪后的彩色图像J.

算法2 综合模型算法[3]

综合模型的求解采用迭代计算，迭代的每一步中，先分别计算ROF模型的方程(2)和LLT模型的方程(4)，再把它们的解用更新后的θ进行合并，然后进入下一次迭代，直到算法收敛或达到迭代次数上限时，迭代计算终止.其中，边界处理采用重复延拓.具体步骤如下.

输入：待处理图像w0；

输出：处理后的图像w；

步骤1：给定参数θ0∈［0,1］,c∈［0.05,0.2］,τ≤0.0018,λ1≥0,λ2≥0和迭代次数的上限N；

步骤2：分别求解方程(2)和方程(4)，得到解u和v；

步骤3：按照公式(7)计算以更新θ的值；

步骤4：用θ按照式（6）将2个方程的解进行合并得到一次迭代的解w.如果迭代次数小于N，则转到步骤2，否则结束迭代，w即为输出的处理结果.

4 实验结果和结论

本文在Matlab 6.5环境下对多幅彩色图像用ROF、LLT和综合模型进行了对比实验.为客观地比较算法的性能，在迭代计算时3个算法的参数λ都取为1，并采用峰值信噪比（PSNR）来评估算法的优劣.

其中，M,N是图像x，y方向像素点的个数，U和U^分别是原始图像矢量和去噪后的图像矢量，L是图像中灰度取值的范围，对8比特的图像而言，L=255.

图1是彩色Lena图像的去噪结果对比图.处理时图像灰度值都归一化到［0,1］之间，给无噪原图加了方差为0.01的高斯白噪声，Lena加噪图的峰值信噪比PSNR=24.9537.

从图1中可看出，ROF的处理结果是噪声滤除彻底，边缘（如帽沿）得到一定程度的保护，但图像的纹理部分（如头发）模糊.另外，随着迭代次数的增加，“阶梯效应”会逐渐显现，且越来越明显.

LLT的处理结果是纹理（如头发）得到一定程度的保护，渐变区域得到保护，没有出现“阶梯效应”，但仍有少量噪声，图像边缘（如帽沿）模糊.

综合模型的处理结果是噪声滤除彻底，边缘（如帽沿）和纹理（如头发）得到保护，渐变区域变化自然，随着迭代次数的增加“阶梯效应”不明显.对其余图像的实验也有类似的结果，所以用综合模型处理后的视觉效果最好.

表1列出了3种模型在多幅图像上可达到的最大峰值信噪比.从表中看出，综合模型能达到的峰值信噪比最高，所以去噪效果最好.这说明综合模型对彩色图像也同样有效.

实验结果表明，用综合模型处理彩色图像仍然能得到较好的去噪效果，综合模型融合了ROF和LLT模型的优点，不仅能较好地去除噪声，同时也能保护平滑区域，抑制“阶梯效应”，对图像边缘和纹理细节也具有一定的保护能力.

参考文献:

［1］王大凯，侯榆青，彭进业. 图像处理的偏微分方程方法［M］.北京:科学出版社,2008.

［2］艳. 基于全变分模型的新型数值算法［J］. 云南民族大学学报：自然科学版,2010,19(3):211-215.

［3］杜宏伟.基于偏微分方程的图像去噪综合模型［J］.计算机工程与应用,2008,44（20）:198-201.

［4］RUDIN L, OSHER S, FATEMI E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms ［J］. Physica D, 1992,60:259-268.

［5］CHAMBOLLE A, LIONS P L. Image recovery via total variation minimization and related problems ［J］. Number Math,1997,76(2):167-188.

［6］LYSAKER M, LUNDERVOLD A, TAI X C. Noise removal using fourth-order partial differential equation with applications to medical magnetic resonance images in space and time ［J］. IEEE Transactions on Image Processing, 2003, 12(12):1579-1590.

［7］YOU Y L, KAVEH M. Fourth-order partial differential equation for noise removal ［J］. IEEE Transactions on Image Processing,2000,9(10):1723-1730.

［8］LYSAKER M, OSHER S, TAI X C. Noise removal using smoothed normals and surface fitting ［J］. IEEE Transactions on Image Processing, 2004,13(10):1 345-1 357.

［9］OSHER S, SOLE A, VESE L. Image decomposition and restoration using total variation minimization and the H-1 norm ［J］. Multi-Scale Modeling and Simulation: A SIAM Interdisciplinary Journal, 2003,1(3):349-370.

［10］GREER J B, BERTOZZI A L. H1 solutions of a class of fourth order nonlinear equations for image processing ［J］.Discrete and Continuous Dynamical Systems,2004,10(1/2):349-366.

［11］洪丽华，周卫红. 一种基于形态学的彩色图像去噪算法［J］. 云南民族大学学报：自然科学版,2009,18(4):92-94.