荡秋千中的物理问题

生活中有很多日常活动与物理知识有关，只要认真去观察去思考，总会发现很多有趣的问题可以用物理来解释。荡秋千是常见的活动，老少皆宜，细心的人会在这过程中发现很多的物理问题。本文主要从三个方面谈谈这其中的物理问题.

第一方面：有关圆周运动的问题。

首先，荡秋千活动显然可以看成是人绕悬点的圆周运动。当然，更加近似的，也可以把这个模型简化成类似单摆的绳拉小球的圆周运动。

例题一.关于小孩荡秋千，有下列说法，这些说法正确的是（ ）

①重一些的孩子荡秋千，它摆动的频率会更大

②孩子在秋千达到最低处有失重的感觉

③拉绳被磨损了的秋千，绳子最容易在最低点断

④孩子在秋千达到最高处有失重的感觉

A.①② B.③④ C.②④ D.①③

解释：首先，类似单摆，人在荡秋千过程中只有重力做功，mgh=12mv02，人的运动快慢与人的质量是无关的，所以①错。其次，由圆周运动的向心力公式，可知荡秋千到最低点时向心加速度方向向上，应该是超重的，这个位置的绳子拉力最大，所以②错③对，而在最高点时，加速度向下，所以是失重，所以④对。答案是B。

第二类：有关能量的问题。

荡秋千中的能量是守恒的，这是肯定的，但是机械能一定守恒吗（在不计空气阻力的情况下）？

其实应该分两种情况：一是荡秋千过程中人始终相对绳子不动，二是荡秋千过程中人在适当时机蹲下或者站起来。

第一种情况，如果人在荡秋千始终相对绳子不动，则荡秋千时人的动能、重力势能、均发生变化。在最高点时，动能最小，重力势能最大；在最低点时，动能最大，重力势能最小。如果不计阻力，动能和重力势能相互转化，机械能总量保持不变，也就是机械能守恒。但在现实生活中一定存在有阻力，所以机械能不守恒，机械能越来越小，秋千也就越荡越低，最后停下来。

第二种情况，如果人在秋千上一会儿站起来，一会儿蹲下去，那秋千有可能能越荡越高！

例题二.在杂技“荡秋千”表演中 ，一名演员在秋千上一会儿站起来 ，一会儿蹲下去 ，那秋千却能越荡越高。为了使秋千尽快荡起来，下列关于演员应该在何时站起、何时蹲下的说法，正确的是（ ）

A.应该在秋千荡至最高点时站起

B.应该在秋千荡至最低点时站起

C.应该在秋千荡至最高点时蹲下

D.应该在秋千荡至最低点时蹲下

解释：如图，在秋千摆到最高点时下蹲（C到D），在秋千摆到最低点时起立（E到F）。

则从D到E下摆由机械能守恒：mg rd（1-cosθ1）=12mvE2 （注意此时的绳子长度为rd）

则从F到G下摆由机械能守恒：12mvF2=mg ru（1-cosθ2） （注意此时的绳子长度为ru

如果假设vE与vF相等（其实vF会更大，以下会讲到），则由ru

能量角度来解释：当秋千在最高点时，人下蹲重心下降使得摆长变长，使得下摆过程的高度差更大（摆角一样的情况下），下摆过程更多的重力势能转化成动能；而当秋千在最低点时，人起立重心上升使得摆长变短，使得上摆过程的角度更大（高度差一样的情况下），获得比最低点更高的高度差（加上人起立）。

那秋千能荡得越来越高，能量从哪里来呢？人是利用站立和下蹲来做功把自己的化学能转化给了秋千的机械能，这样秋千的机械能就会越来越大。具体怎么更定量知道是如何越摆越大呢，看看以下第三类问题。

第三类：有关角动量的问题。

上文提到“假设vE与vF相等”，其实vF会更大，这里面要讲到角动量的问题。下面引用一道上海市的高中物理竞赛题，介绍了要用几次才能使使秋千的摆角从5°增大到80°。

例题三.一质量为50kg的同学在公园里荡秋千，在秋千摆动过程中他通过下蹲和起立的动作使自己越摆越高。假设该同学蹲在秋千板上时重心与悬挂点的距离l=3m，他从下蹲到起立重心位置改变的距离h=0.5m。忽略秋千质量、空气阻力以及下蹲和起立所用的时间。（提示：当某质点绕一固定点转动时，如果其所受的合力矩为零，则该质点到定点的距离与质点切向速度的乘积为一定值。）求：

（1）他应该在什么位置下蹲、什么位置起立？

（2）若开始时秋千位于最左侧摆角为5°处，他按照（1）中的方法下蹲和起立，秋千摆到最右侧时的摆角；

（3）由最左侧摆角5°处开始，在第一次站起的过程中，该同学所做的功；

（4）若要使秋千的摆角从5°增大到80°，他需要下蹲的次数。

解析：（1）由上文分析可知，应该在秋千摆到最高点时下蹲，在秋千摆到最低点时起立。

（2）秋千从左侧最高点运动到最低点过程中机械能守恒。设秋千在最低点时速度为v0，由机械能守恒有mgl（1-cos0）=12mv02

到最低点时，迅速起立，在此过程中系统角动量守恒

mv0l=mv1（l-h）

此后秋千再从最低点运动到右侧最高点过程中，机械能守恒

12mv12=mg（l-h）（1-cos1）

由以上三式可得：1-cos11-cos0=l3（l-h）3

解得1=arccos[1-l3（l-h）3（1-cos0）] =arccos[1-33（3-0.5）3（1-cos5）]≈6.6°

（3）由动能定理可得W-mgh=12mv12-12mv02

其中12mv02=mgl（1-cos0），而由mv0l=mv1（l-h）可得v1=ll-hv0

代入可得W=mgh+mgl（1-cos0）[l2（l-h）2-1]=252.5J

（4）设下蹲n次后能摆到的最大角度为n≥80，由1-cos11-cos0=l3（l-h）3可得

1-cosn1-cos0=l3n（l-h）3n 所以n=13lg1-cosn1-cos0lgll-h=13lg1-cos801-cos5lg33-0.5 ≈9.8

即需要下蹲10次以后，秋千摆角能超过80°.

至此，我们可以知道人在最低点时迅速站起，让自己身体的化学能转化成为机械能（遵循角动量守恒及能量守恒），并且在最高点时蹲下使得摆长变长使得摆角越来越大，摆得越来越高。