提炼方法 提高能力

通过这些年的高中数学教学，我发现学数学其实就是在学习数学方法，数学题千变万化，但是数学基本方法始终如一。高中考试说明中明确说明数学的基本方法主要有：待定系数法、换元法、配方法、割补法等。在这些方法中间，换元法在培养学生的学习兴趣和提高学生的学习能力中起到重大的作用。下面我将结合我的教学过程来阐述我对换元法的理解和应用。

换元法是我们在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化的方法。这个方法在数学中非常常见，所有章节都有涉及。

一、过定点问题

1.求函数y=ax+1-3，（a>0，且a≠1）恒过定点：_________.

对于这个简单问题，我们有很多种解法。

（1）平移法：因为函数y=ax，（a>0，且a≠1）的图像过定点（0，1）；所以函数y=ax+1，（a>0，且a≠1）是把函数y=ax，（a>0，且a≠1）向左边平移了一个单位，所以它过定点（-1，1）；而函数y=ax+1-3，（a>0，且a≠1）是把函数y=ax+1，（a>0，且a≠1）向下移3个单位，所以它过定点（-1，-2）。

（2）直接法：用平移法做完后我们发现，其实还有更快的方法，因为过定点就是说和a没有关系，所以a的幂必须为0，也就是x+1=0，所以x=-1，因此算出y=-2，所以它过定点（-1，-2）。

（3）换元法：我们知道指数函数y=ax，（a>0，且a≠1）的图像过定点（0，1）；对于y=ax+1-3，（a>0，且a≠1）这个指数型的函数我们可以把它化成y+3=ax+1，令Y=y+3，X=x+1，换元后就变成指数函数Y=ax，（a>0，且a≠1），显然X=0，Y=1，即x=-1，y=-2，所以它过定点（-1，-2）。

上面的方法都能解决问题，但换元法既简单易学，又能提高学生的解题能力。

二、求函数的解析式

点评：分别把①，②代入到原式子的右边可以减少计算，注意本题中元的范围转化时一定要保证前后是等价的转换。

三、换元法在三角函数中的应用

学习三角函数其实就是在学习正余弦函数和换元法，可以说不懂得换元法就不可能学好三角函数。在求函数y=Asin（ωx+φ）+t的对称轴、对称中心、增减区间以及由函数图像求j等中都有涉及。在三角函数一章中我们常常见到这样的模型：由函数y=Asin（ωx+φ）图像求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式。

1.已知函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）一个周期内的函数图像，如下图所示，求函数的一个解析式。

以上的解法是我们经常采用的方法，是不是一定要知道最高点或者是最低点才能解决如上问题呢？我们知道此种题型是先求A，再求ω，最后求j，求A和ω都不难，难就难在怎么求j，如果我们五点作图法学得很好，再利用换元的方法，就可以得到（ ，0）这个点应该是五点作图法中的第一个得到的点，所以2× +φ=0+2kπ，k∈Z，马上得到φ=- +2kπ，当k=0时，可以得到一个φ=- ；我们也可以利用（ ，0）来计算一下，因为（ ，0）对应五点作图法中的第三个点，所以2× +φ=π+2kπ，k∈Z，马上得到φ=- +2kπ，当k=0时，可以得到一个φ=- 。不难发现只要知道图像中的5个关键性的点，最难求的φ反而是最好求的。

换元法的题型非常常见，要提高学生的学习兴趣，提高学生的学习能力，平时教师就要注重学生的基础知识教学，来龙去脉都要讲清楚。学生知道怎么做还不行，还要学会触类旁通，举一反三，“授之以渔”总比“授之以鱼”要好。

（作者单位：福建省沙县金沙高级中学）