任意角的课堂设计

中图分类号：S611文献标识码：A 文章编号：

一．教学目标

1．知识与技能

（1）理解并掌握正角、负角、零角的定义．

（2）理解任意角以及象限角的概念．

（3）掌握所有与 角终边相同的角的表示方法．

2．过程与方法

（1）通过学习使学生会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角，会书写终边相同的角的集合．

（2）通过学习培养学生的观察、探索和类比研究的能力；培养学生的推理能力．

3．情感与态度

使学生感悟数学与现实生活是紧密联系的，激发学生的兴趣．

二．教学重点．难点

1．重点

（1）理解正角、负角和零角的定义．

（2）掌握终边相同角的表示法．

2．难点

终边相同的角的表示.

三．教学过程

（一）创设情境引入

让学生观察几种熟悉的变化现象（幻灯片显示），

问题设置：牛顿由苹果落地，发现了万有引力，你能发现这些现象共同的变化规律吗？

（学生回答，周期性变化，教师强调:它们的共同的变化规律是周期性变化，）

教师启发性总结：我们即将学习的三角函数就是刻画这种变化规律的数学模型，

问题设置：①三角函数到底是怎样的一种函数？

②它有那些特有的性质？

③在解决周期性变化规律中到底发挥着哪些作用？

教师引导：本章我们将研究这些问题，首先开始学习第一节任意角。

(设计意图：学习章引言，让学生观察几种熟悉的变化现象（幻灯片显示），引导学生发现这些现象的变化规律——周期性变化。激发学生想知道数学是如何刻画客观世界周期性变化规律的求知欲。阐述本章要学习的三角函数就是刻画这种周期性变化规律的数学模型，及这一章要研究的内容，从而提纲挈领，引入课题．)

（二）新课

1．角的有关概念

（1）回顾角的定义及范围（请大家回忆一下角的概念？）

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．角的范围：0°到360°．

根据我们了解的角的知识，思考下面三个问题？

（1）你的手表慢了5分钟，想将它校准，分针应该按什么方向旋转多少度？

（2）你的手表快了5分钟，想将它校准，分针应该按什么方向旋转多少度？

（3）你的手表慢了90分钟，想将它校准，分针应该按什么方向旋转多少度？

教师启发性总结：

现实生活中不仅存在大于360°的角，而且角的旋转方向有两种（顺时针和逆时针）。通过跳水的专业术语“转体1080°”和“转体540°”以及齿轮旋转的例子（幻灯片显示），说明现实生活中有很多这样的例子，要准确的描述这些变化现象，不仅要知道角的大小，而且要区分角的旋转方向，就需要对角的概念进行推广。

问题设置：那么如何区分两种方向不同的角呢？（学生回答：对角加正负）

教师引导：

一般我们规定：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角．

问题设置：那么什么是负角呢？

负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．

问题设置：如果一条射线不作任何旋转呢？

零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角．

教师引导深入理解角的概念：

问题1：根据我们所学习的角的知识，求此角的大小？ （出示幻灯片）

（问题比较简单，学生齐答。）

问题2：参照幻灯片上的角，请大家画出-120°、390°？

（选择学生作图有问题的“作品”，用实物投影出示，让学生点评，从而达到生生互

动，最后老师总结规范的画图步骤，加深印象。）

2．象限角的概念

教师引导：今后我们常在坐标系中讨论角，为了讨论问题的方便。我们使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 轴的非负轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．若终边落在第一象限，这个角就是第一象限角。那么，第二、三、四象限角就有了。

问题设置：还有其它角吗？（学生回答：终边落在坐标轴上）

教师强调：终边落在坐标轴上的角不属于任何象限。

教师引导深入理解象限角的概念：

问题1：你能举一个第一象限角的例子吗？（学生自由发言，检测对象限角的理解）

问题2： - 是第几象限角？ -120°呢？（学生齐答，加深对象限角的理解）

3．终边相同的角

教师引导探究：请按上述方法在直角坐标系内画出 ， ， ，并找出它们的共同点?

设计步骤：

1）让学生在黑板上作图，同学评价，老师再次强调易出现的问题

2）问题设置：你能发现这三个角的共同点吗？

学生单独回答，教师强调：所有终边重合的角叫终边相同的角。

3)问题设置：你能发现这三个角之间的关系吗？

学生单独回答，教师强调： 、 分别与 相差360°.

4）问题设置：（由特殊到一般，由易到难，层层深入）

①你能再举出两个与 终边相同的两个角吗？

②与 终边相同的两个角有多少个？

③它们与 的差是多少？

④能否用一个式子来表示？

⑤与 终边的角的集合如何表示？（教师引导学生，强调 ）

⑥与任意角 终边相同的角的集合怎样表示？(通过本组问题很自然的引出终边相同的角的集合表示)

终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 ．

教师总结，出示幻灯片：任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和．

4．应用（运用我们这节课所学的知识解决下列问题）

（1）在 到 范围内，找出与 和- 终边相同的角，并判断它们是第几象限角？(找学生单独回答)

教师引导：是不是任意的一个角都可以表示为 到 之间的角与整数个周角的和？（学生齐答）也就是说任意的一个角都与 到 之间的一个角的终边相同。（教师总结）

（2）用0°到360°的角表示下列集合：

写出终边在y轴非负半轴上的角的集合 ．

写出终边在y轴非正半轴上的角的集合 ．

写出终边在 轴上的角的集合 ．

（ , 让学生口头回答，幻灯片上出示答案。 先让学生在纸上作答，然后由学

生回答，根据具体回答的情况，教师最后引导总结出两种思路：一种是求 , 的并集，一种是根据定义旋转。）

（3）写出终边直线在 上的角的集合 ,并把 中适合不等式的元素 写出来.

（先让学生在纸上写出集合 ，再写出适合不等式的元素 .然后由学生回答，根据具体回答的情况，教师最后引导总结出两种思路：一种是实验法，一种是解不等式。）

（三）小结：（过渡：下面我们以下三个方面谈谈自己的收获。）

（设计两套方案：①如果时间紧，老师与学生共同总结知识点，出示幻灯片加深印象；②如果时间富余，由学生自由发言总结知识点和思想方法，最后出示幻灯片加深印象。）

1．知识上：

（1）任意角．

（2）象限角．

（3）终边相同的角的集合．

2．思想方法上：

由特殊到一般 、联想类比等．

3．通过这节课的学习,有什么感悟和体会?

数学与现实生活是紧密联系的，我们要善于观察、联想、发现、总结、概括．

（设计意图：结合三维目标，对本节课的内容进行总结、反思，帮助学生建构完整的知识体系。）

（四）布置作业：

1．习题1.1 A组第1、2、3题．

2．找出日常生活中大于 的角和负角，并熟练掌握它们的表示方法，深入理解终边相同的角的特点．

附：板书设计

任意角

1．正角、负角、零角

2．象限角

3．所有终边与任意角α终边相同的角

（五）教学反思:

本节课是三角函数这一章的第一节课，是一节概念课。特点是概念较多，内容基本，但比较烦琐，本节课主要是让学生结合实例体验角的概念的推广的必要性，从运动的观点出发进行角的概念的推广；理解正角、负角、零角的定义；掌握所有与角 终边相同的角的表示方法；能建立适当的坐标系来讨论任意角，理解象限角、坐标轴上的角的概念，并能用集合和数学符号表示。

我在教学活动中有如下特点：

1、介绍了章引言,让学生了解本章的基本内容,激发学生的学习兴趣．以“设问”的形式串联本节课，激活学生的思维。通过生活实际中所遇到的旋转问题，激发学生的好奇心，体会生活中的数学，提高学生的学习兴趣，激发学生自觉探索数学问题背后的本质，体验发现的乐趣。并且把复杂问题简单化，通过一个个细化的问题引导学生去发现问题，总结问题，最终实现知识的领会。在课堂中，我充分调动学生的积极性，学生回答对了，不吝表扬。让他们有一种成就感，从而激发学习的兴趣。

2、学生的角色从学习的承受者转变为学习的主体，通过观察图片、图形去发现隐含在问题当中的一般规律，提高学生类比联想、归纳的能力，变被动学习为积极主动探索。

3、教学目标从讲授知识、落实双基提升为知识、能力、情感等全方位的培养。

通过这一节课的教学，我觉得有很多精彩之处。全课各个环节的转换与连接显得十分自然，浑然一体，前后呼应，师生沉浸在轻松的学习氛围中。但还存在很多不足之处，比如由于不了解上课时间安排，小结仓促结束。留给我很多的思考。

注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。