量子阱中弱耦合束缚极化子的温度效应

【摘要】采用线性组合算符与变分相结合的方法研究了温度对无限深量子阱中弱耦合束缚极化子性质的影响。推导出在弱耦合情况下，无限深量子阱中束缚极化子的基态能量和振动频率与温度的关系。选择GaAs晶体为例，进行数值计算。结果表明：温度升高时，量子阱中弱耦合束缚极化子的振动频率增大；温度升高、阱宽增大时，量子阱中弱耦合束缚极化子的基态能量的绝对值增大。

【关键词】量子阱；线性组合算符；束缚极化子；温度效应

The temperature effect of weak-coupling bound polaron in quantum well.

Li Ya-li Wang-Song

(School of Physics and Electronic，XuZhou Normal University,221116,Xuzhou,Jiangsu,China)

Abstract：Temperature dependence of the properties of the weak-coupling bound polaron in an infinite quantum well were investigate by using Linear-combination-operator and Variational method.The effects of the temperature on the vibration frequency λ,groun state energy E0 were iscusse.Numerical calculation illustrates that the groun state energy E0 of weak-coupling bound polaron will ecrease with increasing of the well width and the temperature.the vibration frequency λ will increasing with increasing of the temperature.

Key wors：Quantum well；Linear-combination-operator；bound polaron；temperature effect

1.引言

自从1975年，Dingle[1]等人第一次研究了量子阱中的光学特性开始，量子阱结构就引起人们的广泛关注，因为它相比于其他材料具有更加奇特的性质。所以很多学者[1-3]运用各种方法对量子阱中的极化子的性质进行研究。Zhao等[4-5]运用修正的LLP变分法计算了抛物量子阱中电子（或空穴）的基态、第一激发态的跃迁能量，以及有限深抛物量子阱中束缚极化子的结合能。Zhao等[6]利用微扰法研究了量子阱中电子—声子相互作用所引起的诱生势。Dugaev等[7]运用分析方法讨论了处于平行磁场中Ⅳ-Ⅵ族窄隙半导体量子阱内的能级。近年来，有一些学者[8-9]采用线性组合算符与变分相结合的方法研究了量子阱中极化子的性质。

然而，以上这些研究都是在低温极限下进行的。而实际上，关于温度对量子阱中极化子性质影响的研究更有意义。秦荣华等[10]运用格林函数理论研究了温度对量子阱中极化子性质的影响。额尔敦朝鲁等[11]运用Larsen谐振子算符代数运算和变分微扰相结合的方法研究了处于磁场中电子—体纵光学声子耦合系统的温度依赖性，得到了有限温度下系统的自能。但到目前为止，应用线性组合算符和变分相结合的方法对量子阱中束缚极化子性质的温度依赖性进行研究者甚少。本文运用线性组合算符与变分相结合的方法讨论了温度对无限深量子阱中弱耦合束缚极化子性质的影响，并给出量子阱中束缚极化子的基态能量和振动频率随温度的变化关系。

2.理论

考虑一个在﹥d范围是无限高势垒材料和范围内充满极性半导体量子阱中电子的运动，并与极性半导体的LO声子场相互作用。选择平行于交界面的平面为x-y平面，阱心为原点。

利用Fröhlich极化子理论[12]系统的哈密顿量[13]可以写成：

（1）

其中

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

其中分别是具有波矢W的声子的产生和湮灭算符，K0是真空的介电常数，是电子的位置矢量，分别是电子的带质量和声子的频率，VW由下式决定

（7）

V是半导体体积，其中无量纲耦合常数α可以表示为：

（8）

分别是半导体的静态和高频介电常数。

将库仑势作级数展开：

（9）

在近似绝热的条件下，对电子的横向运动的动量和坐标引进线性组合算符

（10）

（11）

其中λ是极化子的振动频率，取为变分参量，下面对H进行幺正变换[14]

（12）

（13）

其中为变分函数，则哈密顿量变为：

（14）

选取体系的尝试波函数[15]

其中：

选取尝试波函数[16]

（15）

上式中 n=1,2,3,…

计算过程中将用到：

，

；

，

（16）

则该体系的期望值[17]

（17）

对fw求变分得到：

将fw代入（17）式，将求和变积分，得：

（18）

对变分，得到：

（19）

将代入（18）式，可以得到基态能量：

(20)

3.数值计算

在有限温度下，电子-声子系统不再处于基态，晶格振动不但激发实声子，同时也使电子受到激发。极化子的性质是电子-声子系处于各种状态的统计平均。据量子统计学有极化子平均数和声子平均数分别为：

（21）

（22）

为了更好的说明温度对无限深量子阱中强耦合束缚极化子性质的影响，以GaAs晶体量子阱为例子，进行数值计算。在计算过程中所采用的材料参数如下：

，，，，

其中，α是电子和声子的耦合常数，m0是自由电子的静质量，以下图中均用meV作为能量单位。

为了更为清晰显示各个量之间的关系我们亦做出二维单值图1至3。

图1画出束缚极化子的振动频率λ与温度T的变化关系，表明在RbCl晶体量子阱中，当温度增加时束缚极化子的振动频率λ也增加。

图2画出束缚极化子的能量E0在不同温度T下与阱宽的变化关系，表明束缚极化子的能量E0随阱宽的增大而减小。图形显示在阱宽较小时，量子阱中束缚极化子的基态能量的绝对值随阱宽减小而急剧减小，显示了量子尺寸效应，同时还表明温度越高，量子尺寸效应越显著。

图3画出当d=3nm，d=4nm，d=5nm时，束缚极化子的能量E0随温度T的变化关系，随着温度的增加，基态能量的绝对值是增大的。由式(20)我们可以看出，阱宽的不同取值只会影响图形在能量轴E0上的截距亦或图线的位置，但是三条曲线的形状是相同的。

4.结论

运用线性组合算符及变分相结合的方法讨论了量子阱中弱耦合束缚极化子的温度依赖性。给出了无限深量子阱中束缚极化子的平均能量E0和振动频率随温度的变化关系。结果表明，无限深量子阱中束缚极化子的振动频率随温度升高而增大；平均能量随温度升高而减小，随阱宽增大而减小。当阱宽较小时，平均能量随阱宽减小而急剧增大，表现出量子尺寸效应，并且温度越高，量子尺寸效应越显著。

参考文献

[1]Comas F,Trallero G C,RieraR.LO-phonon confinement and polaron effect in a quantum well[J].Phys Rev,1989,B39(9):5907-5912.

[2]Buacker H,Mora R M,Comas F.Magnetopolaron

in a quantum well[J].Phys Stat Sol(b),1990,159:117

-125.

[3]Chen Chuan Yu,et al.Strong-coupling theory of

quasi-two-dimensional polaron[J].Phys Rev,1994,

B49(19):13680-13684.

[4]Feng-Qi Zhao.Xi-Xia Liang.Shi-Liang Ban.Energy levels of polaron in a finite parabolic quantum well.Int J.Mod.Phys.B.2001,15(5):527-35.

[5]Feng-Qi Zhao.Xi-Xia Liang.Binding energy of a bound polaron in the finite parabolic quantum well[J].Mod Phys Lett.B.2011,15(20):827-35.

[6]Guo-zhong Zhao.Shao-hua Pan.Potentials induced by the electron-optical-phonon interaction.Z.Phys.B.1996,99:375-380.

[7]V K Dugaev and V I Litvinov.W Dobrowolski.Level quantization in the narrow-gap-semicondu-

ctor quantum well in a parallel magneitic field.Phys.Pev.B.200,62(3):1905-11.

[8]单淑萍,黄启峰等.量子阱中弱耦合磁极化子的性质[J].内蒙古民族大学学报,2009,24(1):1-4.

[9]Jian Rong-hua.Zhao Cui-lan.Properties of the weak-coupling Magnetopolaron in a semiconductor quantum well.Chin J.Lum in(发光学报),2008,29(2):215-220.

[10]秦荣华,顾世洧.量子阱中极化子性质的温度关系[J].上海交通大学学报,1998,32(12):1-4.

[11]额尔敦超鲁,肖景林.量子阱中极化子的自能与电磁场和温度的关系[J].发光学报,1999,20

(1):66-70.

[12]刘亚.量子阱中束缚极化子效应[D].北京工业大学硕士学位论文,2002.

[13]Naoki Tokuda,Hisashi Shoji,Kazuyuki Yoneyu.The optical polaron bound in a Coulumb potential and its phase diagram[J].JPhys C:Solid State Phys,1981,14:4281-4290.

[14]李正中.固体理论[M].北京:高等教育出版社[M].1985:294-332.

[15]李喜军,肖景林.量子阱中弱耦合极化子的内部激发态能量[J].内蒙古大学学报(自然科学版),2008,23(3).

[16]Rui-sheng Zheng,Shi-ling Ban,Xi-xia Liang.Eeffctsofintearfce and bulk optical phonons on Poloarons in a quantum well[J].Phys.Rev.1994-I,B44:1796-1801.

[17]曾谨言.量子力学教程[M].北京:高等教育出版社,2008.

基金项目：国家自然科学基金资助项目（10347004；10747002）。

作者简介：李亚利（1977—），女，内蒙古通辽人，硕士，讲师，主要从事凝聚态理论研究。