“错 题”巧用

【分类号】G633.6

在临近考前总复习的时候，学生在大量的做题，老师也忙碌地在为学生从各种资料上筛选题，以便上课之用。

有一名学生拿着一本名曰《初三检测试题》的复习资料，问我资料上的这样一道几何题：已知 和 相交于A、D；AB切 于A点，AC切 于A点，

∠BAD=45°，∠CAD=30°； AB：AC=2：1，

则 与 的半径之比为（ ）。

A） 4 ： B） 2 ： C） 1 ： D） 2 ：1

我通过推理、计算发现了这道题所给的条件有问题（即相互矛盾），但我没给这名学生讲，我只是告诉他：明天上课让我们全班同学一起帮你解决好吗？他说好，（学生创新能力的培养，主要体现在学生发现问题、解决问题甚至创造问题能力上，这就要求教师在教学方法上，一改过去的直接告诉学生答案的做法，而是设计解决问题的方案），第二天的头节数学课上，我叫这名同学把题抄在了黑板上，并告诉全班同学这道题我和这名同学一样有疑问，总觉得哪不对劲，请大家帮我们俩解决一下好吗？（教师设下疑问，并创设教学情境），这时全班同学情绪激昂，都想一显身手，就都埋头思考计算起来，不一会儿，就有不少学生兴奋地叫嚷到：“做出来了”、“太简单了”。接下来，我就提问了一名A同学，让他说出他的做法，同时把他的做法写在了黑板上：做法A： 连O1A、O1B、O2A、O2C，由AC切圆O1于A点，AB切O2于A点，得∠O1AC=∠O2AB=90°，推出

∠O1AB=∠O2AC=90°-∠BAC

易得O1AB∽O2AC O1A：O2A=

AB：AC=2：1， 故选D。

这时有的同学喊不对，有的同学开始沉思，于是我

不失时机地问有不同意见吗？于是就有学生B站起来说出了

他的答案：做法B：过A作O1的直径AE，作O2的直径AF，

连ED、FD，易证∠E=∠DAC=30°，∠F=∠BAD=45°，且∠EDA=

∠FDA=90°，E、D、F在一条直线上，ADEF，可得AE=2AD，AF= AD，O1A：O2A=AE：AF=2： ，故选B.

这时全班同学大部分就不吱声了，只有小部分同学在嘟囔着，我于是又问了还有不同答案吗？这时又有学生C 说出了他的答案：做法C：连O1B、O1D、O2D、

O2C、BD、DC易证∠O1=2∠BAD

=90°，∠O2=2∠DAC=60°可得BD=

O1B， CD=O2C ①又由∠BAD=∠ACD， ∠CAD= ∠ABD ABD∽CAD AB：AC=BD：AD=AD：DC=2：1 BD=2AD=4DC ② 由①②可得O1B：O2C=4： ，故选A。

课进行到这里，全班同学几乎都不吱声了，因为三种方法看似都对，可数学题答案不可能有三个不同结果，这时我就不失时机地应学生，“为什么会出现这样的结果？该如何解释？不妨我们一起讨论研究一下，问题出在了什么地方？ （给学生设计空白点，并让学生探究问题）”，于是学生七嘴八舌地讨论起来，通过一番激烈的讨论、研究，（当然老师也在加入小组的争论中）渐渐地学生开始明白了，（老师并未告诉学生其中的原因）三种方法的所用的条件各不相同，这时我又加问了一句“可为何用不同条件推出结果会不同呢？”学生于是又开始讨论并且用笔推算起来，通过学生的相互讨论（合作），研究及推算，结果令人意外（当然课堂效果也大出老师意外，似乎学生从沉默中醒过来，这时班级又热闹起来），不少同学抢着发言（合作发现），并把他们的推理说出来，其一说条件AB：AC=2：1，与条件∠BAD=45°，

∠DAC=30°，不能同时存在，他们互相矛盾，其二说：若

∠BAD=45°、∠DAC=30°，由解法B可推出AB：AC= ：1，其三说：若AB：AC=2：1，由解法C，BD=4DC，则∠DO2C≠60°，于是∠DAC≠30°，否则可推出BD=2O1B， O1BD不存在，即∠BO1D=180°，也就是说∠BAD≠45°。课进行到这个阶段，班级的同学们这才都弄清楚了这道题的真正错误，（合作、探究问题的结果是发现问题），于是就有不少同学提出了各自不同的正确的修改意见，最后教师提出问题：同学们能否以这道题为基础编出几道题，（培养学生创新意识，提高学生的创新能力）。于是学生编出了好几道与此相关的几何题，这一堂课，通过同学们的讨论研究，学生不但弄清了这一道题错误的原因和不同答案的原理，还在讨论研究的过程中复习了很多圆、角、全等、函数等有关的性质和定理的知识。达到了毕业班综合复习的目的。

这堂课的教学非常成功，学生也非常活跃，这堂课的教学特点是以“自主、合作、创新”的自主高效课堂教学模式进行的。其成功方面有以下几点：

第一，体现学生主体地位和作用。

整个一堂课老师几乎没讲几句话，全都是由学生讨论完成的，从问题的提出（学生出一道题），到用不同的方法做出不同的答案，而引出的疑问，以及出现这种疑问的原因和疑问的解决都是由学生们自己讨论完成的。把教学过程完全交给了学生，让学生自主参与、合作讨论，自己去完成认知过程，老师只起了个阶段衍接的主持作用。这样，知识的发生、发展过程，学生就容易掌握，而且还不容易忘，既达到培养了学生的自主意识，又发展了学生的独立思维的能力，

第二，体现了分层教学特点。

现代教育是培养创新人才和实现人的全面发展为目标的教育，这道题的三种不同方法的难易程度不同，不同层次的学生有不同的思维方法和解决方案，每人都参与到了此题的思考之中，达到了分层教学和多层教学的教学目的。

第三，锻炼了学生独立思考，勇于探究问题的精神。

问题的提出就给学生设了疑问，带着疑问让学生思考，学生这时思维异常活跃，并且互不服输，带着争强好胜的心理去独立思考，得到了自己的方法又使学生充满了成就感，这就锻炼了学生独立思考，勇于探究问题的精神。体现了"自主、合作、创新"的现代意识，比如上面教学中三种解题的方法的得出及后面疑问的不同解释等等。

第四，体现了团结协助、互相帮助、互为启发、谦虚求实的学习精神。

在小组讨论过程中，同学之间问题的思考及部分结论的得出，都互相起了提示和铺垫使用，并通过讨论，加强了同学间的团结协助、互为引导、启发的学习精神。如在解释条件互相矛盾时，必须借助不同同学的不同解题方法才能得出，从而引导学生养成不但要善于独立思考还要多听别人意见的习惯。

第五，培养和锻炼了学生的语言表达能力。

本节课教学中有好多处需要同学间互相说明自己的观点和方法，并且在解释疑问时，还要表达明白、清楚，这就要求学生有很好的语言表达能力，而在本堂课的教学过程中（如小组讨论及回答问题时）时时锻炼着学生的语言表达能力，从而完成了培养中学生语言表达能力的教学目标。

第六，达到了复习知识贯穿知识和应用知识的要求。

虽然本节课只有一道题，可由于不同解法用到的知识不同，并且每种知识的应用方法也各不相同，所以在思考题的过程中无形就复习了相似、圆及比例和三角函数等各种不同的知识点和它们之间的联系，也就正好完成了毕业班学生复习课的要求和目的。

第七，提高了学生“没有怀疑就没有发展”的创新思想。

通过这一道题的思考，使学生不但学会了正确分析问题的方法，还学会了怀疑和批判的辨证唯物主义思想，即对任何问题都应带有自己的怀疑和否定思想，如这节课例题的条件错误的发现及疑问的解决都体现了这种思想，从而提高和培养了学生的各种综合能力和创新思维。

通过这堂课的教学，使我感觉到随着创新教育要求的提高及师生角色变换，教师在课堂教学的设计中不但要研究教师的教法，而且要研究学生的学法，使课堂活动的设计多层次、更全面地面向全体学生，培养学生学习数学的兴趣，培养学生发现问题的能力，培养学生创新思维的能力。

本案例虽然只是一道题的教学，但效果却非常明显，因为整个一堂课，始终是按照"自主、合作、创新"的自主高效课堂教学模式进行的，我认为除选好例题，抓好问题的切入点进行教学外，多层次参与练习及体现"自主、合作、创新"的课堂教学模式是成功的关键，也真正体现了现代社会素质教育的需要，这是我们全体教师应研究的问题。