时间：2022-05-01 02:45:30
【难点提示】
1. 正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”的含义.
2. 利用配方法获得一元二次方程求根公式的过程及思路.
3. 由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值.
4. 一元二次方程与不等式的关系，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程与二次函数的关系.
5. 一元二次方程的实际运用.
【例题分析】
1. 关于x的一元二次方程（3-x）（3+x）-2a（x+1）=5a的一次项系数为_______.
【分析】整理为ax2+bx+c=0的形式，注意所谓一次项是含有“x”一次的项，和其他字母无关.
解：原方程可化为：x2+2ax+7a-9=0，故一次项系数为2a.
2. 如果关于x的方程（m-2）x2-2x+1=0有解，求m的取值范围.
【分析】本题并没有说明该方程是一元二次方程，所以分成两种情况.
①若是一元一次方程，则m=2.
②若是一元二次方程，则m≠2，但方程有解，必须Δ≥0，从而求出m的范围.
解：若是一元一次方程，则m=2.
若是一元二次方程，则m≠2，但方程有解，必须Δ≥0. 即（-2）2-4×（m-2）×1≥0. 易得m≤3.
综上所述，得m≤3.
3. 解方程：
① x2-2■x-1=0；
②（y-1）2-5（y-1）-14=0.
【分析】题①适用配方法和公式法.
题②适用各种方法，但是运用因式分解的方法较为简单.
解：②因式分解得： [（y-1）-7][（y-1）+2]=0，（y-8）（y+1）=0.
从而得y1=8，y2=-1.
4. 已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0.
（1） 证明这个方程有两个不相等的实数根.
（2） 求出这个方程的实数根.
（3） 若此方程的两个根在-2与4之间，求实数m的取值范围.
【分析】本题是关于x的一元二次方程，其中含有参数m. 题（1）考查根的判别式，只需要代入Δ=b2-4ac计算即可. 题（2）求解可用因式分解法，也可以用公式法. 题（3）字母m的范围可由x的范围确定. 应先判断两个解的大小关系，再列出相应不等式组.
解：（1） Δ=b2-4ac=（-2m）2-4×1×（m2-1）=4>0.
所以原方程有两个不相等的实数根.
（2） x2-2mx+（m-1）（m+1）=0.
[x-（m-1）][x-（m+1）]=0.
（x-m+1）（x-m-1）=0.
x1=m-1，x2=m+1.
（3） 因为m-1
m-1>-2，m+1
5. 已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边长为5.
（1） k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2） k为何值时，ABC是等腰三角形？并求ABC的周长.
【分析】关于x的一元二次方程中含有参数k，要求k的值，必须要有一个条件. （1）中增加了直角三角形的条件. （2）中增加了等腰三角形的条件. 本题的立意就是根据新增加的条件得出有关k的方程，这个关于k的方程可以通过根与系数的关系来列，也可以把关于x的方程的解求出来之后再列. 一般情况下，当根的判别式是一个数或是一个式子的平方时，我们选择后者.
解：a=1，b=-（2k+3），c=k2+3k+2，
b2-4ac=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1，
x=■，x1=k+2，x2=k+1.
AB、AC的长一个是k+2，另一个是k+1.
不妨设AB=k+2，AC=k+1.
（1） RtABC以BC为斜边，AB2+AC2=BC2，（k+2）2+（k+1）2=25，解得k1=-5，k2=2.
当k=-5时，AB=-5+2=-3
当k=2时，AB=4，AC=3.
（2） 当ABC是等腰三角形时，
①若AB=AC，可得方程k+2=k+1，此方程无解，所以AB≠AC.
②若AB=BC=5，可得方程k+2=5，k=3.
此时三角形三边长为5、5、4，周长为14.
③若AC=BC=5，可得方程k+1=5，k=4.
此时三角形三边长为5、5、6，周长为16.
当k=3时，ABC是等腰三角形，其周长为14.
当k=4时，ABC是等腰三角形，其周长为16.