用几何画板软件探讨含有参数的函数问题

To Solve the Parameter Function Problem with Geometer's Sketchpad Software

Wang Bo

（Xianyang Vocational Technical College，Xianyang 712000，China）

摘要：含有参数的函数问题往往比较复杂，利用几何画板很容易绘制出函数的图像，这就为我们解决这类问题提供了一个进行数学实验的环境。

Abstract: The problem with the function arguments are often more complex, the use of Geometer's Sketchpad is easy to draw out the functions of the image, which provide a mathematical experiment environment for solving these problems.

关键词：几何画板 函数 数学实验

Key words: Geometer's Sketchpad; function; mathematical experiment

中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）19-0243-01

0引言

含有参数的函数问题往往比较复杂，用手工绘图方法或代数运算根本无法解决，主要是所画函数简图的准确性差，对于某些比较复杂的函数问题，如果所画的图像反映不出函数的性态，必然得不到正确的结果。如果借助几何画板软件强大的函数图像作图能力，很容易绘制出函数的图像，为我们解决这类问题提供了一个进行数学实验的环境。

1绘制图像

绘制含有参数函数的图像方法是：①运行画板并建立直角坐标系，在x轴上取一点A，选择A和x轴，利用“作图”“垂线”命令得到过A的垂线。在垂线上取一点，并加上标签a，作线段Aa，选择a点，利用“度量”“纵坐标”命令得到a的纵坐标。②隐藏垂线，用“文本工具”把度量值的标签改为a，利用“图表”“绘制新函数”命令，输入函数解析式，输入a的时候就是单击屏幕上的表达式，然后点确定，就绘制出了函数的图像。③拖动a点，改变线段的长短，a的纵坐标及函数图像随之改变。

2典型案例

例1，已知方程■=2有两实根，求实数a的取值范围。

分析：在x＞0，x+a＞0，x+a≠1的条件下，原方程可化为■-x=a。令y■=■-x,y■=a ，研究两函数的交点。

打开几何画板，利用“图表”“绘制新函数”命令，绘制函数两函数的图像。

拖动a，观察图像的变化情况。当y■=■-x与y■=a图像相切时，可以求得a=■；当y■=a与x与轴重合时，a=0。从图像可以看出，夹在这两条平行直线a=■和a=0之间的a才符合题目的条件，所以0≤a＜■。

例2，函数y=a■与y=x■■（a＞0且a≠1）的图像在x＞0时有几个交点。

分析：由函数的零点知识，探求f(x)=a■-x■在x正半轴上的交点个数。

同例1,利用几何画板绘制f(x)=a■-x■的图像（图2-图5），拖动a，观察两图像交点的个数的变化规律。

（1）当0＜a＜1时，函数f（x）=a■-x■的图像与x轴只有一个交点（图2）。

（2）当a＞1时，在a约等于2.71时，函数f（x）=a■-x■的图像与x轴相切，只有一个公共点（图3）。事实上， f′（x）=a■lna-ax■=0且f（x）=a■-x■=0，容易得到a=e。

在1＜a＜e和a＞e时，函数y■=x■和y■=a■的图像有两个交点。（图4，图5）

于是，当0＜a＜1或a=e时，函数y=ax与y=xa（a＞0且a≠1）的图像在x＞0时有1个交点；当1＜a＜e或a＞e时，函数y=ax与y=xa（a＞0且a≠1）的图像在x＞0时有2个交点。

3反思

对于较复杂的含有参数的函数问题，为了得到清晰的函数性态和简洁的解题办法，我们可以采取两种途径进行反复实验探索：一是对解析式进行恒等变形，二是自定义坐标单位，以求达到最佳的解题方法。

参考文献：

[1]刘同军.几何画板在数学教学中的应用（第1版）.山东：中国石油大学出版社，2005，171―173

[2]郑观宝.巧用《几何画板》探求两函数“交点的个数”.上海中学数学，2007年第1―2期，79―80

[3]王波.含参数方程问题的几何画板解法[J].邢台职业技术学院学报.2009（3），41-42.

[4]王波.用几何画板软件描述平面区域上的动点[J].价值工程.2011年（2），174.