导数解题中的几个常见病例

导数是高中数学的一个重要组成部分，从近几年全国各地的高考卷来看，以导数作为工具，与方程、不等式、解析几何等各类知识的结合已经成为考查的热点.但学生在运用过程中常常出现误区，我根据平时的教学心得，列举导数解题中几个常见的错例，谈谈自己的认识，供读者参考.

一、忽视导数定义而致错

例1.设f（x）=2x+2?摇x≠01?摇x=0，试判断在f(x)在x=0处是否存在导数.

错解：f′（x）==2.

正解：因为y=f（x）在x=0处图像是间断点，所以f(x)在x=0处不存在导数.

评析：由导数的定义知，函数的图像必须连续不间断才有可能存在导数.

二、忽视导数几何意义而致错

例2.已知曲线y=x+1上一点P（1，2），求过点P的切线的斜率.

错解：因为点P在曲线y=x+1上，所以y′=3x，即过点的切线的斜率为3.

正解：设切点坐标为（x，x+1），则切线的斜率k=3x，所以切线的方程为y-（x+1）=3x（x-x），又因为点P（1，2）在曲线上，所以2-（x+1）=3x（1-x），所以得（x-1）（2x+1）=0，所以x=-或x=1，切线的斜率为3或.

评析：正确理解可导函数过某点的切线与在某点处的切线的联系与区别，在点处此点必定是切点，但过点此点不一定为切点，另还需要判断此点与曲线的关系.

三、忽视函数极值存在条件而致错

例3.求y=x-x+2的极值点的坐标.

错解：因为y′=x-x，令y′=0，则得x=0或x=1，所以极值点为（0，2）或（1，）.

正解：得x=0或x=1后，当x＜0时y′＜0，当0＜x＜1时y′＜0，此时y=f（x）在x=0处取不到得极值.同样方法可以验证x=1处能取到极小值，所以极值点是（1，）.

评析：极值点不能仅根据y′=0的根来判定，还要看函数在y′=0根左右两侧的单调性.当y′=0时的重根所形成的点，往往不是极值点.

例4.求f（x）=在［-1，3］上的极值.

错解：由题意得f（x）=•，令f′（x）=0得x=1.

当x=1时，f′（x）在x=1附近两侧的符号相反，左正右负，

x=1是函数的极大值点.

正解：得x=1是函数的极大值点后.忽视了在定义域内不可导的点为：x=0，x=2.经计算，f′（x）在x=0附近两侧的符号相反，左负右正，f′（x）在x=2附近两侧的符号相反，左负右正，x=0和x=2是函数的两个极小值点.函数的极大值为f（1）=1，极小值为f（0）=f（2）=0.（函数的大致图像如下）

评析：在求函数的极值过程中，务必要对函数的不可导点进行考查，因为函数的极值可以在定义域内导数为零的点或不可导点取得.

四、忽视参数界点而致错

例5.设函数f（x）=x+ax+x+1（a∈R）在区间（-，-）内是减函数，求a的取值范围.

错解：f（x）=x+ax+x+1求导：f′（x）=3x+2ax+1.

因为函数f（x）=x+ax+x+1（a∈R）在区间（-，-）内是减函数，所以f（x）=3x+2ax+1＜0在（-，-）上恒成立.

所以f′（-）=3•（-）+2a（-）+1＜0f′（-）=3•（-）+2a（-）+1＜0

解得a＞2.

正解：因为函数f（x）=x+ax+x+1（a∈R）在区间（-，-）内是减函数，所以f′（x）=3x+2ax+1≤0在（-，-）上恒成立.

所以f′（-）=3•（-）+2a（-）+1≤0f′（-）=3•（-）+2a（-）+1≤0

所以a≥2.

经检验a=2满足题意，所以a≥2.

评析：对于a=2的情况，必须进行验证，验证的标准是当a=2时y=f（x）否为常数，若是，则不能取该值；反之，则一定要取.对于可导函数f（x）在D上单调递增（或递减）的充要条件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0）且f′（x）在D任一子区间上不恒为零.特别注意的是在已知函数单调性求参数的取值范围时，要注意等号是否成立.

在教学中，以上所列的几类错误，我在教学中多次遇到，而且有很多学生在这些问题上重复犯错.我们只有经常适时地纠正学生的一些错误，并加以辨析，才能使学生走出误区，准确求导.

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