基于适度形式化的试题评析

形式化是数学的基本特征之一，简单而言，形式化是指内容的抽象化、表述的符号化和操作的程序化.过度形式化会掩盖数学内容的本质，使数学脱离现实性.因此，我们应该把握适度的形式化表达，促进学生建立数学本质与形式之间的有机联系，注重对数学本质的理解.

“强调本质，注意适度形式化”既是《课标》倡导的课程理念之一，也是数学学科的自身诉求.本文将从揭示数学本质、发展应用意识、培养创新意识三个角度对今年福建高考数学试题如何凸显适度形式化作简单评析.

1 在揭示数学本质中体现适度形式化

“强调本质，注意适度形式化”这一理念已成为选拔性考试所追求的重要考查目标之一，也是命题者遵循的重要命题原则.适度形式化的命题可以避免数学的本质被过度形式化的符号语言掩盖.

+ + + ≤ + + + .

其中真命题的序号是

A .①② B .①③ C .②④ D .③④

评析 本题的背景是函数凹凸性，要得出正确答案，需要抓住“凹凸性”的本质特征.对于试题所描述的“性质”的形式化语言，若没有深入挖掘，领悟其本质特征，不易得出正确答案.本题考查考生推理论证能力、抽象概括能力，在形式化与非形式化之间保持适度的张力，较好地考查考生对形式化语言的本质理解.

2 在发展应用意识中凸显适度形式化

培养学生的应用意识是课标课程的一个亮点，《课标》提倡通过丰富的实例，引导学生应用数学知识去解决问题，并且尽可能让学生在经历探索、解决问题的过程中去体会数学的应用价值，培养应用能力.

例2 （理1 6 ）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取5 0辆，统计数据如下：种品牌的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由.

评析 本题考查概率相关基础知识；突出对统计图表的认识、统计量实际意义的理解与运用的考查；以现实生活中的实际问题为载体，较好地考查考生运用数学知识解决实际问题的能力、抽象概括能力、数据处理能力及应用意识；体现现实生活和数学知识的密切联系，较好地体现适度形式化的考查.

例3 （文1 6 ）某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案.方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小.例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1 ，则最优设计方案如图2 ，此时铺设道路的最小总费用为1 0 .

现给出该地区可铺设道路的线路图如图3 ，则铺设道路的最小总费用为____________.

评析 本题以道路铺设问题为背景，考查“推理与证明”相关知识.本题方法上没有形式化的套路可循.但是，只要能从文字和图形中提取正确的信息，寻找问题的实质，探求解题的方案，就可得以解决.本题考查“数学阅读”能力、推理论证能力、分类与整合思想.通过适度形式化的方式呈现新情境问题，考查考生的应用意识.

3 在考查创新意识中强调适度形式化

适度形式化的命题，也就是把一些尚未形式化或者尚未完全形式化的内容呈现给考生，需要考生将其进一步数学化后用常规方法加以解决，或者直接根据基本原理加以解答.这些问题常常没有既定的解题模式，有助于考查考生的创新意识.

例4 （文1 2 ）已知3 2

( ) 6 9

A .①③ B .①④ C .②③ D .②④

评析 本题考查函数相关知识，考查推理论证能力、函数与方程思想、化归与转化思想.求解时，没有现成的解题模式可套用，要求考生根据题目提供的备选项进行探究、分析，本题渗透形式化的考查，但又不完全形式化，较好地考查了考生对形式化语言的准确理解，形式基于本质达到“适度”.

例5 （理1 5 ）对于实数和，定义运算“*”：设

，且关于

评析 本题是自定义创新题，以分段函数为背景，考查分段函数的图象性质、二次函数的图象性质、根与零点的分布问题以及函数的值域（最值）问题；考查考生运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.本题需要考生从形式化的数学符号语言中，透析问题的本质，有助于考生创新性思维的培养.

总的来说，试卷致力于考查考生对数学本质的理解与掌握，规避操作的“程序化”，解题的“机械化”，较好地体现了《课标》所倡导的课程理念，在揭示数学本质的同时，考查了考生准确地使用形式化语言来表述数学内容并解决数学问题的能力.