三角函数错中学

一、定义不清,混淆象限角与区间角

例1若α, β为第一象限角,且α>β,则

(A) sinα>sinβ (B) sinα

错解: 函数y=sinx在第一象限是增函数, α>β, sinα>sinβ,选A.

错因分析: 象限角的概念不清,误将第一象限角理解成0,上的角. 若取α=2π+,β=,可知A明显不对.

正解:第一象限角的取值范围为2kπ,2kπ+(k∈Z), 当α=2π+,β=时,sinαsinβ,即三种大小关系都有可能. 选D.

二、忽略隐含条件,扩大取值范围

例2已知α∈(0,π)且sinα+cosα=,则cos2α的值为

(A) (B) - (C) ± (D) -

错解: 将sinα+cosα=两边平方,得1+sin2α=, sin2α=-. 又 α∈(0,π), 2α∈(0,2π), cos2α=±=±=±,选C.

错因分析: “错解”忽略了sin2α=-中的隐含条件. 由sin2α=-可知 2sinαcosα=-0,cosα0, sinα>cosα. 由正弦函数及余弦函数的图象可得:α∈,, 2α∈π,, cos2α

正解: 由“错解”可知,sin2α=-,由“错因分析”可知cos2α

-. 选B.

例3在ABC中,sinA=,cosB=,则cosC=.

错解: 由sinA=,cosB=可得cosA=±,sinB=. ∠A+∠B+∠C=π, cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=sinAsinB-cosAcosB, cosC=×-×=,或cosC=×--×=.

错因分析: 忽略了在ABC中cosB=所隐含的条件,并且在求解过程中扩大了∠A的取值范围. 由cosB=>0可知B∈0,. 由“错解”可知sinB=>sinA,由正弦定理=可得b>a, ∠B>∠A. B∈0,, A∈0,, cosA>0,即cosA不可能为-.

正解: 由“错因分析”可知cosA>0, cosA=. cosC=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.

例4已知3sin2α+2sin2β=2sinα,则sin2α+sin2β的取值范围是

(A) -, (B) 0, (C) 0, (D) ,

错解: 3sin2α+2sin2β=2sinα, sin2β=, sin2α+sin2β=sin2α+(2sinα-3sin2α)=sinα-sin2α=-(sinα-1)2. sinα∈[-1,1], 当sinα=1时,sin2α+sin2β有最大值;当sinα=-1时,sin2α+sin2β有最小值-. 选A.

错因分析: 错解没有考虑题目的隐含条件,扩大了sinα的取值范围. sin2β∈[0,1], 0≤≤1;又 3sin2α+2sin2β=2sinα, sinα≥0. 由0≤≤1可得sinα∈0,, sinα无法取到-1和1.

正解: 由“错因分析”可知sinα∈0,. sin2α+sin2β=-(sinα-1)2,令y=-(sinα-1)2,则y的图象是以sinα=1为对称轴、开口向下的抛物线. sinα∈0,时,y=-(sinα-1)2单调递增, 当sinα=时,y有最大值,即(sin2α+sin2β)max=;当sinα=0时,y有最小值0,即(sin2α+sin2β)min=0. 选C.

三、忽略三角函数自身的定义域

例5求f(x)=的定义域.

错解: 2cosx+1≥0,tanx≠0, 2kπ-≤x≤2kπ+,x≠kπ.故函数f(x)的定义域为x 2kπ-≤x≤2kπ+且x≠2kπ,k∈Z.

错因分析: “错解”考虑到了要使分式成立分母必须不为0,即tanx≠0;但是忽略了正切函数自身的定义域,即要使tanx有意义,则必须有x≠kπ+(k∈Z).

正解: 由“错解”及“错因分析”可知,f(x)的定义域为x 2kπ-≤x≤2kπ+且x≠2kπ且x≠kπ+,k∈Z.

四、误用三角函数的图象与性质

例6已知0≤x≤π,求函数y=sinx-cosx的最大值和最小值.

错解: y=sinx-cosx=sinx-, 0≤x≤π,-≤x-≤, -≤sinx-≤. ymax=1, ymin=-1.

错因分析: 单调函数的最值在边界上,但正弦函数在闭区间-,上不单调,因此,函数最值不一定在区间端点处取得.错解误用了函数单调性.

正解: 由“错解”可知x-∈-,,由正弦函数的图象可知-≤sinx-≤1,所以当sinx-取得最大值1时,ymax=;当sinx-取得最小值-时,ymin=-1.

五、未弄清三角函数图象变换的实质

例7要得到函数y=sin2x-的图象,只需将函数y=sinx的图象

(A) 先将每个x值扩大到原来的4倍,y值不变,再向右平移个单位

(B) 先将每个x值缩小到原来的,y值不变,再向左平移个单位

(C) 先把每个x值扩大到原来的4倍,y值不变,再向左平移个单位

(D) 先把每个x值缩小到原来的,y值不变,再向右平移个单位

错解: 变换前函数为y=sinx,变换后函数为y=sin2x-,都是形如y=Asin(ωx+φ)的函数. ω从变成2,是原来的4倍,φ从0变成-,因此是先将x值扩大为原来的4倍,y值不变,再向右平移个单位. 选A.

错因分析: ω从变成2,确实是原来的4倍,但是变换是针对自变量x而言的,所以是把每个x缩小到原来的. 同样的,横向平移也是针对x而言的,y=sin2x是经过了如下变换:sin2xsin2x-=sin2x-,从而成为y=sin2x-,所以是向右平移个单位.

正解: 选D.

评注: 利用图象变换作图是作出函数图象的一种重要方法. 一般地,由y=sinx得到y=Asin(ωx±φ)的图象有如下两种思路:第一种是先进行振幅变换,即y=sinx的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx;再进行周期变换,即y=Asinx的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=Asinωx;最后进行相位变换,即y=Asinωx的横坐标向左(右)平移个单位,得到y=Asinωx±=Asin(ωx±φ). 第二种就是先进行振幅变换,再进行相位变换,最后进行周期变换,即将y=Asinx向左(右)平移φ个单位,得到函数y=Asin(x±φ)的图象,再将其横坐标变为原来的倍,得y=Asin(ωx±φ). 不论哪一种变换都要注意一点,就是变换都是针对自变量x而言的.