一道代数竞赛题的探讨与拓展

一、缘起――培优班学生课间求教：

近几年各地重点高中理科实验班招生如火如荼，为学校声誉及生存发展的需要，初中学校不得不将本校优生集合起来集中培优。由于本人在平时的教学过程中喜好钻研数学问题，因此学校培优班数学教学工作就一直由我负责。在数学培优教学过程中曾有学生请教过这么一个问题：

求满足下述条件的最小正整数n，对于这个n，有唯一正整数k，满足 < < 。

为了培养学生的思维严密性和合作学习的能力，我把这个问题在培优课堂上提出来，让大家两个一组合作讨论，部分学生经过探讨解答如下：

解：n，k均为正整数，故只需满足 > >

即

若n=56，则 < < ，k为非正整数.

若n=112，则 < < ，k=97.

所以满足条件的最小正整数n是112.

二、质疑――举出反例：

以上解法看似正确，但只要稍作分析，就会发现满足条件的最小正整数n并不是112，还有更小的，例如就有学生提出 < < ，还有学生提出 < < ，那么满足条件的最小正整数n到底是几呢？

我们回到 < < ，很明显， < < ，即 < < ，所以满足条件的最小正整数n不应该大于15，若n=15，此时正整数k的唯一值是13；

有人会问：n=15是不是最小的呢？对于 < < 而言，6×15=90，7×13=91，91比90只大1，8×13=104，7×15=105，105比104也只大1；而对于 < < 而言，6×112=672，7×97=679，679比672大7，8×97=776，7×112=784，784比776大8；对于 < < 而言，6×22=132，7×19=133，133比132大1，8×19=152，7×22=154，154比152大2；通过以上比较就可说明为什么满足条件的最小正整数n应该是15.

三、推导――以理服人：

很多数学问题只有猜想或者仅仅举例说明肯定不行，必须经过严密的逻辑推理才能得出令人信服的正确结论，下面的解答过程就很好的解决了本文开头提出的问题。

由 < ，得 ，所以 ，即 ；

由 < ，得 ，所以 ，即 ；

从而 ，解得 ，又当 时，原不等式组成立，所以满足条件的最小正整数n是15.

四、拓展――总结规律，推广应用：

由于以上问题可以转化为求满足条件 < < （a为正整数）的最小正整数n，且对于这个n，有唯一正整数k；显然，对于任意正整数a，有：①： = = < = .

②： = < = = .

比较①②可知： < < .

又因为a（2a-1）-（a-1）（2a+1）=1，a（2a+1）-（2a-1）（a+1）=1，且两个相异正整数之间的正差值最小是1，所以满足条件 < < （a为正整数）的最小正整数n应是2a+1，此时正整数k的唯一值是2a-1.

运用上述规律，我们今后再遇到此类问题就会很快得出结论。

例如：求满足下述条件的最小正整数n，对于这个n，有唯一正整数k，满足 < < 。首先由 < < ，可得 < < ，而 < < ，所以满足条件的最小正整数n是25，此时k有唯一正整数值23.

五、感悟――勤思善思，不断提高：

数学大师波利亚曾经说过：“掌握数学就意味着要善于解题”，这句话不仅适用于学生，也适用于老师，一名好的数学教师始终是一名数学解题的探讨者。教学中，我们经常会遇到学生拿他们不懂的问题来求教，很多时候，教师往往就题论题，讲完了事。事实上，学生求教的许多问题带有典型性、疑难性，作为教师，我们不妨选取一些合适的问题进行多方位思考、多角度探究与拓展，力争摸索与归纳出规律性结论。如此多思多做、勤思善思，对教师提高自身解题能力与试题命制能力也是有所裨益的。