不谋而合 圆切相辉

【摘要】“依据新课标，源于教材”是中考数学命题的一个重要风向标；2014年中考，多地命题专家对九年级数学上册《圆的基本性质》的一道习题和一道例题直接引用或进行变式、拓展、提升、综合，又层层推进地设置新的问题情景；这样不仅了达到了源于教材，高于教材，活于教材的作用，又考查了学生的分析问题、解决问题的能力；同时又对我们广大教师今后的教学无疑起了一个导向作用。

【关键词】2014年中考试题 圆 课本习题、例题 引用、变式、提升、综合

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）06-0112-02

2014年中考尘埃落定，在中考数学试卷的浩瀚的题海里出现了一道亮丽的风景，心有灵犀一点通，多地竞不谋而合地同时对九年级数学上册《圆的基本性质》中教材第103页综合运用的习题第14题、第86页的例2，进行了直接引用，或略作变式，并在第2问的基础上进行了提升、推进、综合运用其它的数学知识，设置新的问题情景，考查不同梯次学生的分析问题、解决问题的能力，让所有的学生在解答此题时彰显各自的数学才华。

原题呈现：

第14题 如图1，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直垂足为D，求证：AC平分∠DAB.

图1 图2

例2.如图2，O的直径AB为10M，弦AC的长为6M，∠ACB的平分线交O于点D，求BC、AD、BD的长.

此两题是教材上的例、习题， 想必大家很熟习，好好回忆一下吧！

四题开屏：

图形基本不变，已知条件基本不变，求证的结论不变，但是求证的结论在条件略作增加的情况下进行了提升、综合、推进，即让学生有似曾相识燕归来的欣喜，又让学生必须经过一番苦思冥想，并运用其它的数学知识来分析，从而解决问题。让不同的学生有不同的发展。

题一：（2014年孝感市）如图3，AB是O的直径，点C是O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）求证：PCF是等腰三角形；

（3）若tan∠ABC=

图3 图4

题二：（2014年咸宁市）如图4，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，ADCD于点D.

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若点E为弧AB的中点，AD= ，AC=8，求AB和CE的长.

题三：（2014年十堰市）如图5，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E.

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若AB=4，B为OE的中点，CFAB，垂足为点F，求CF的长；

（3）如图5⑵，连接OD交AC于点G，若 = ，求sin∠E的值.

图5（1） 图5（2） 图6

题四：（2014年鄂州市）如图6，以AB为直径的O交∠BAD的平分线于C，过C作CDAD于D，交AB的延长线于E.

（1）求证：CD为O的切线；

（2）若 = ，求cos∠DAB的值.

简要思路：题一、二、三的第⑴问的求证与课本第14题的步骤相同，是对习题的一个熟练程度的检测，这里只将题一和题四的解答作一个简要的分析，题二和题三留给大家思考。

可参考金考卷2014年全国各省市中考试题汇编（湖北专用）。

题一的⑵要证明PC=PF，须证∠PFC=∠PCF，而

∠PFC=∠CAO+∠ACF，∠PCF=∠BCF+∠PCB.

由已知可知∠ACF=∠BCF，又由AB为直径和PC为O的切线，可证∠CAO=∠PCB，故得证。

（3）如图3，连接AE，由已知得AE=BE=7 .由勾股定理得AB=14.又在RtABC中，tan∠ABC= = = ，由⑵可知∠A=∠BCP，∠P=∠P，则PAC∽PCB， = = .可设PC=4k，PB=3k，k≠0，这样在RtPOC中有PO=3k+7，再建模，从而求得k的值为6，则PC=24就呼之而出。

题四的⑴的证明连接OC.则易证得OC∥AD.又ADCD，OCCD.故得证。

（2）如图6，连接BC.由⑴可得tan∠CAB=tan∠CAD= = = = ，令CD=3k，AD=4k，得AD=5k. BC= k. 由勾股定理得AB= k，OC= k.OC∥AD， = ，易得AE= k，cos∠DAB= = .

命题意图：这四道题共同考查了： 圆的切线的判定、性质，平行线的判定、性质，角的和差演变，等腰三角形的判定、性质，以及要综合运用相似三角形、解直角三角形、勾股定理、引进参数来进行推理、计算，从而达到证题、解题的目的。

考题赏析：题一、二、三的已知条件的前面部分和求证⑴与课本习题、例题完全相同，就是题一、二、四的图也与教材上的如出一辙，在紧张的考试环境下，给学生一种似曾相识燕归来的欣喜，减轻了学生的压力，激发了他们解题的兴趣。题三将原图形的下半部分有意省去，似乎要给学生一个陌生的感觉，让学生熟而不知熟，故意迷惑他们，考查学生观察问题是否细致入微，能否轻车熟路地达到目的，可谓巧妙布局。题四就别具一格，偷梁换柱，将教材的已知条件（CD为O的切线）与结论（AC平分∠DAB）作了一个交换，但换汤不换药，证明的思路与课本的思路也是互逆的，实谓匠心独运。在短暂的兴趣解完第一问后，后面设置的是新的问题情景，尽管有梦回教材的欣喜，但它不是简单的就题论题，而是借题发挥，却高于教材，活于教材，对题目进行了重新组合，改变了考查方向，增加了思维的难度和深度；这就要求学生站在一个新的高度，纵横捭阖，全方位地运用所学的数学知识来分析问题，从而解决问题。考查了学生综合运用知识的能力和创新思维能力。

路标指引：看了上面的几个中考题：就启示我们，在日常的数学教学中，要依纲（课标）据本（课本），立足于基础，要注重引导学生对课本例、习题的学习和研究，同时要充分利用课本例、习题（含其图形）的资源，对它进行变式、拓展、延伸、综合，或重新组合，设置的问题情景，转变题型，来训练学生思维的灵活性、变通性、深刻性，这样既发挥了课本例、习题所含的功能，让源于教材，高于教材，活于教材的集团题取代“战术题海”；又从更高层次上使学生的创新思维能力得到发展，从而达到“做一题、通一类、会一片”的效果。