山东高考第22题的特殊解法

【摘要】（2）对物块受力分析如图2所示，设拉力F与斜面的夹角为α，沿着斜面和垂直斜面方向建立坐标系，由牛顿第二定律， 得Fcosα-f-mgsinθ=ma（1） 垂直斜面方向，由平衡方程，得 Fsinα-FN-...

例1（2013年山东）如1图所示，一质量m=0.4 kg的小物块，以v0=2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10 m.已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=313.重力加速度g取10 m/s2.求：（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小.（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

通常解法应用数学公式y=asinθ+bcosθ=a2+b2sin（θ+）求解.

（1）物体由A运动到B，由运动学公式得

L=v0t+112at2，

解得a=3 m/s2到达B点时的速度v=v0+at=8 m/s.

（2）对物块受力分析如图2所示，设拉力F与斜面的夹角为α，沿着斜面和垂直斜面方向建立坐标系，由牛顿第二定律，

得Fcosα-f-mgsinθ=ma（1）

垂直斜面方向，由平衡方程，得

Fsinα-FN-mgcosα=0（2）

又由滑动摩擦力公式，得f=μFN（3）

由已知和（1）、（2）、（3）联立，

解得F（313sinα+cosα）=5.2 N.

由数学公式y=asinθ+bcosθ

=a2+b2sin（θ+），

解得F=2.631sin（α+），

tan=3，=60°，

即当α=30°时，拉力有最小值F=13153 N.

点评本题考查了对物体受力分析，涉及到四个力一般平时教学时对于研究对象受到的力大于等于四个时都是用正交分解法来解决，正确的建立坐标系根据牛顿第二定律列方程求解.由于本题中第二问拉力的方向是任意的，所以就要引入拉力与斜面角度变量α，根据方程求得的拉力形式为y=asinθ+bcosθ问题转化为求解函数的极值问题，如果不会求解函数转化为y=a2+b2sin（θ+）形式就无法求解.所以本题难点在于数学函数转化.平时教师教学要加强学生数学能力的培养，这样可以提高同学分析解决问题的能力.

特殊解法应用矢量图解法求解.

设斜面对物体的支持力为FN，滑动摩擦力为f，如图2，

tan=f1FN=μFN1FN=μ=313，=30°，

由于动摩擦因数不变，所以，支持力与滑动摩擦力的合力方向固定不变，沿着F′的方向，大小随正压力变化而变化.由于重力大小方向确定，合力的大小方向确定F合=ma沿着斜面向上，根据矢量三角形法则，从第一个矢量的起点首尾顺次连接的矢量和为，从第一个矢量起点画到最后一个矢量的末端即为合力，所以满足合力恒定的拉力有无数个，如图3所示，当拉力F的方向恰好与F′垂直时，拉力有最小值.=α=30°可以推出θ=30°，拉力与斜面和竖直方向都成30°.线段AC的长度代表力的大小，由力F垂直于力F′，各个角度如图3所示，线段AC的长度等于线段AB长度+线段BC，所以当拉力与斜面成30°角向右上方时，拉力最小，F=Gsin60°+macos30°=13153 N.

点评采用矢量图解法的数学基础是对于矢量运算熟悉的，方可擅长用动态图解法来分析解决问题.而一般的常规动态图解问题都是物体处于动态平衡，而本题的物体是有加速度的，实际上无论物体处于什么状态，只要将受到的各个力的矢量顺次连接从第一个矢量初始位置指向最后一个矢量末端就是合矢量.本解法的另一个巧妙地方在于利用了滑动摩擦力与弹力的合力方向是不变的即tan=f1FN=μ，这样就将四个力的问题转化为三个力的问题，而重力与合力F合=ma的大小方向都确定，这是可以采取动态图解法的前提，这种方法的好处是简洁直观，难点是通过几何图像找到各个力的大小和方向关系.