GPS水准模型的应用研究

[摘要]介绍了二次曲面拟合法、Shepard曲面拟合法和加权综合模型等GPS水准拟合方法，通过实测的GPS水准数据使用三种模型进行比较分析，结果显示综合模型逼近高程异常的精度和可靠性均高于单一模型。

[关键词]GPS水准 二次曲面模型 Shepard曲面模型 综合模型

[中图分类号] P228.4 [文献码] B [文章编号] 1000-405X（2014）-2-163-2

0引言

GPS水准的目的就是通过已知的GPS点的大地高和正常高反算出高程异常，利用位置关系建立函数模型拟合该地区的似大地水准面，再用数学内插的方法求解区域内任一点的高程异常值，进而求得该点正常高。本文主要研究二次曲面拟合模型、Shepard曲面拟合模型和加权综合模型的原理，适用条件和范围，从中得出它们的优缺点。通过实测的GPS水准数据分别将各个模型予以实现，再对两种单一模型和综合模型所得出的拟合精度进行比较和分析。

1GPS水准拟合模型

1.1 二次曲面拟合法

多项式拟合法的基本模型为：

ζ=f（x，y）+ε （1）

其中：ζ为高程异常，f（x，y）为拟合的似大地水准面，ε为误差，选用空间曲面函数。

f（x，y）=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2Λ （2）

进行拟合，式中ai为待定参数，于是有：

ζi=a0+a1xi+a2yi+a3xiyi+a4xi2+a5yi2+εi+Λ （3）

当有n个公共点且个数大于等于参数个数时，上式可写为：

解算得到参数阵A：

A=（XTX）-1XTζ （5）

进而由公式

ζ=XA （6）

可求出测区内任意非公共GPS水准点的高程异常值。

1.2Shepard曲面拟合法

Shepard曲面拟合法是一种改进的加权平均法，它包括全局曲面拟合和局部曲面拟合两种方法，本文采用局部曲面拟合法，它将R为半径的拟合区分为两个环带，例如对于某个非公共点（x，y），利用n个公共点（xi，yi）来构建水准模型时，定义权函数为：

每个非公共点都有n个这样的权，且该权函数是连续可微的，ri为非公共点（x，y）与各公共点（xi，yi）的平面距离。相应该点（xi，yi）的曲面拟合模型为：

上式在实际应用中要通过选用不同的拟合度μ和拟合半径R进行对比，从而选取合适的拟合度μ和拟合半径R。

1.3加权综合模型法

加权综合模型的基本思想：用相同的已知点观测数据，分别采用不同的拟合模型来逼近GPS网中待定点的高程异常，最后在单一模型逼近结果的基础上进行加权综合计算[4]～[5]。用数学模型可表示为，以eTmW=1，W≥0为条件，求解以下最优问题：

式中， 为残差阵，F为单一模型所获得的高程异常矩阵，W为权阵，Y为高程异常理论真值阵，eTm=[11Λ1]，m为参与加权的单一模型个数。显然，式（9）为二阶规划模型，即残差阵 最小的条件下由（9）求得权阵为W，则相应加权综合模型的结果和精度分别为：

Y=FW （10）

σ2y=WTσ2FW （11）

式中， σ2F为各单一模型的逼近精度。本文将采用二次曲面和Shepard曲面拟合加权拟合的方法进行加权综合模型的实现，假设其有n个非公共点时（9）式可表示为：

其中yi为高程异常理论值，y1i为二次曲面模型计算出的高程异常值，y11i为Shepard曲面模型计算出的高程异常值，P1、P2为二次曲面和Shepard曲面高程异常值在加权综合模型中的权重。

于是权阵W有：

W=（FTF）-1FTY （13）

2利用GPS水准数据将各种模型予以实现

本文采用测区分布较为均匀的10个GPS水准点作为公共点，另在已知点之间选取了10个水准点作为非公共点，分别采用以下模型拟合高程异常值（各个模型选用精度最高的参数组）：

二次曲面模型，记为M1；Shepard曲面模型（取u=1，R=12km），记为M2；二次曲面和Shepard曲面的加权综合模型（取u=1，R=12km），记为M3。以上三种GPS水准拟合模型得到的计算结果及精度见表1。

由计算结果可知：

（1）从三种高程拟合模型拟合结果中可知，加权综合模型拟合精度最高，二次曲面拟合模型拟合精度次之，Shepard曲面拟合模型拟合精度最低。

（2）对于两种单一模型而言，二次曲面拟合和Shepard曲面模型都是数值逼近方法，它们的拟合精度不仅受公共点的数量和分布状况的影响，更受大地水准面不规则变化的影响。可以看出，由于选取的GPS水准点处于较平坦区域，计算结果显示二次曲面模型拟合精度明显高于Shepard曲面模型拟合精度。

（3）综合模型与单一模型比较，综合模型拟合高程异常的精度均稍高于单一模型，未能充分说明综合模型在GPS水准拟合中的优越性。

3结论

由各模型拟合结果可知，各种拟合模型都有其使用条件：

（1）二次曲面拟合适合于面积不大、地面比较平坦的测区，对于地形起伏较大，似大地水准面有多个凹凸面和大地高落差较大的测区用二次曲面拟合效果不是很理想。

（2）Shepard曲面模型是对待求点周围拟合半径范围内的已知点进行加权内插而的，对噪声趋势性信号拟合较好，但如果地形起伏不规则的情况时，其拟合结果也会不理想，甚至出现拟合粗差。

（3）加权综合模型采用不同的拟合模型来逼近GPS网中待定点的高程异常，在单一模型逼近结果的基础上进行加权综合计算，能较好地适应地形的起伏，但对于具体测区而言拟合精度与权函数的选取、拟合半径大小和测区GPS水准的分布有很大关系。

在试验以后，又选取了45个水准点作为公共点，10个水准点作非公共点，拟合精度有明显不同，二次曲面模型拟合标准差为30mm，Shepard曲面模型拟合标准差为37mm，加权综合模型拟合标准差为20mm。单一拟合模型拟合高程异常的标准差都在30mm以上，综合模型的拟合标准差都在20mm以下，充分证明综合模型相对于单一模型的优越性。

参考文献

[1]黄征航等.GPS测量与数据处理[M]. 武汉：武汉大学出版社，2005.

[2]钟波，罗志才.GPS水准综合模型的应用研究[J]. 测绘通报，2007（6）.

[3]冯光财等.一种GPS高程拟合计算的新方法[J].矿山测量，2005，（4）.