发挥主体作用,激活学生思维

江苏省新课程改革要求，重视对数学综合能力的考查。所谓数学综合能力，主要体现为分析问题与解决问题的能力，能够综合地运用有关知识与方法解决较为困难的或综合性的问题。其本质实际上是要求教师在课堂上发挥主体——学生的作用，充分调动学生学习的积极性，主动思考，积极探索，逐步培养学生分析问题，解决问题的能力。

下面，就曾偶遇一题的教学实践，笔者谈谈如何发挥学生的主体作用，激活学生思维。

1 教学案例及其过程

已知等式

（x+2）10=ɑ0+ɑ1（x+1）+ɑ2（x+1）2+…+ɑ9（x+1）9+ɑ10（x+1）10，

其中ɑi（i=1，2，3…，10）为实常数，求：

（1）ɑ的值； （2）nɑ的值； （3）ɑ的值。

这是一道与二项式定理有关的题目，作为老师的笔者这样分析：

（（1）问简单，赋值即可解决，本文略去解答过程。）

师：主要说（2）（3）两题：

（2）观察nɑ=ɑ1+2ɑ2+3ɑ3+…+10ɑ10，ɑi=（i=1，2，…10）前的系数1，2，3，…，10。如何产生。（教师将问题抛出，学生之间讨论交流。）

生甲：可将等式（x+2）10=ɑ0+ɑ1（x+1）+ɑ2（x+1）2+…+ɑ9（x+1）9+ɑ10（x+1）10，两边求导，再赋值，即：

10（x+2）9=ɑ1+2ɑ2（x+1）+3ɑ3（x+1）2+…+9ɑ9（x+1）8+10ɑ10（x+1）9

令x=0，得nɑ=ɑ1+2ɑ2+3ɑ3+…+10ɑ10=10×29=5120。

师：很好，通过对等式两边求导，得到了iɑi（i=1，2，…，10），再赋值，即可求。

（当然，这一思路也是笔者想向学生介绍的一种常规思路。没想到，还没等笔者总结完毕，乙同学就举手，于是笔者让乙说。）

生乙：nɑ实际上就是等式右边每一个因式的一次项系数，而nɑ就是右边每一个因式的一次项系数的和，也等于（x+2）10展开式中一次项系数。故含x的项为T10=Cx·2=2·10·x。故nɑ=10·2=5120。

师：妙！乙同学发现了问题的本质。（作为老师的笔者开始表扬这个同学，说他善于思考，善于发现问题，解决问题。可这时，又有一位同学丙欲站起来说。）

生丙：将（x+2）10写成[1+（x+1）]10，然后展开

[1+（x+1）]10

=C+C（x+1）+C（x+1）2+…+C（x+1）9+C（x+1）10

ɑ1=C，ɑ2=C，…，ɑ9=C，ɑ10=C，

故nɑ=ɑ1+2ɑ2+…+9ɑ9+10ɑ10=C+2C+…+9C+10C

令S=0·C+C+2C+…+9C+10C，则利用倒序相加法，得 S=0·C+C+2C+…+9C+10C

S=10C+9C+8C+…+C+0·C，对应相加有

2S=10C+10C+10C+…+10C+10C

=10（C+C+C+…+C+C）

=10×210

S=10·29=5120，即nɑ=5120。

师：真好，这两位同学的探究精神值得大家学习。

通过这一小题的教学，笔者发现，只要能调动学生学习积极性，学生开动脑筋积极思考，就会想出很多令教者也没有想到的方法。真是“三人行，必有我师焉！”

师：下面我们来研究（3），观察ɑ=ɑ1+ɑ2+…+ɑ10，在（2）中我们用求导等方法实现了nɑ的求法。那么请大家思考一下，如何实现（3）的求法呢？大家讨论。（因为在我看来，这道题有点难度，学生应该不会有所发现。于是，我又提示。）

师：有什么方法可使ɑ（x+1）n出现系数ɑ的形式呢？（此时，终于有学生想到：定积分。）

师：好，但是，定积分要有积分区间，哪又如何确定？（又让学生思考，有学生提出可试[-1，0]。）

师：好，大家试试：

（x+2）dx=[ɑ+ɑ（x+1）+ɑ（x+1）+…+ɑ（x+1）+ɑ（x+1）]dx

（x+1）=ɑx+ɑ（x+1）+…+ɑ（x+1）

（2-1）=ɑ+…+ɑ+ɑ

ɑ=-ɑ=-1=。

师：利用定积分的手段很巧妙地构造出ɑn的形式。当然，积分区间为什么选[-1，0]，这是有学问的。因为我们在赋值法来求系数和的时候，都是赋-1，0等来实现问题的解决的。（可是，还没等笔者说完，有学生站起来说：老师，还可以这样做。）

生丁：

（x+2）10=[1+（x+1）]10

=C+C（x+1）+C（x+1）2+…+C（x+1）9+C（x+1）10

ɑ1=C，ɑ2=C，…，ɑ9=C，ɑ10=C，

ɑ=C

=·=

=

=C

ɑ=C+C+…+C

=（C+C+…+C）

=（211-12）=

师：真巧妙，丁同学的表现说明，对于问题，我们只要积极开动脑筋，善于思考，就能创造奇迹。（坦白地说，笔者没有想到此方法。）

2 教学反思

2.1发挥学生的主体作用

要想学生成为课堂的主人，教师则要学会放手，只有真正的放手，学生才能在教师的启发、引导下积极思考，善于创新，才能培养学生良好的思维能力。

2.2体现教师的主导作用

新课程的教学中，学生是教学的主体，而教师在教学中起主导作用，尤其在探究性的学习中，教师要做好学生的合作者，引导者。对学生有疑惑的地方进行点拨、解疑和帮助，唯有这样，才能更好地体现主导作用。让学生在探究数学问题时表现的更积极，有利于学生的进一步探究学习。

2.3激活学生的思维

在数学教学中，教师要不断地对学生进行鼓励，时刻激发学生学习数学的热情，点燃学生对数学探究的思维火花。