让操作更具生长的力量

一、 常见流程，你用吗

1.猜想

（1）出示生活中一些事物的照片，让学生找出平行四边形，再让学生举出一些例子。

（2）猜测平行四边形有什么特征，学生回答，教师板书特征并加上问号。

2.验证

（1）我们的猜想是否正确呢？需要通过操作来进行验证。下面让我们利用学具，想办法做一个平行四边形，再借助做出的平行四边形验证你的猜想。

（2）学生用4根小棒（2长、2短）、钉子板和橡皮筋、两个完全一样的三角形、方格纸等漫不经心地做出平行四边形，并有口无心地说着所谓的验证。（其实是复述特征）

（3）教师请学生汇报：怎么做？怎么验证？学生往往背口诀、走过场式地用三角板和直尺配合验证平行、用直尺测量验证相等。

3.结论

看来，同学们的猜想是正确的。（去掉板书上的“？”）让我们一起自豪地读读自己发现的特征。

二、 从来如此，便对吗

对于这种认识图形特征的模式化教学，我们司空见惯，甚至因为其践行了新课程所倡导的“自主、合作、探究”的学习方式而沾沾自喜。学生也早已对这一套滚瓜烂熟，毫不费劲地应付着。

冷静审视这些课堂，我们不难发现：一堂课下来，学生除了强化了对已有认识的记忆（这些图形的特征早已成了学生的已有经验），所获无几。我曾经调查过部分学生：“既然你们都知道了特征，干嘛还要假装去验证什么猜想，再得出结论？”学生的回答令我瞠目结舌：“没办法！老师要我们这样做。反正可以不动脑地玩一堂课。”其实，所谓猜想，既没有猜，也没有想。学生只是把自己知道的说出来，根本就没有任何数学思考的成份。形成强烈反差的是，天真的教师们仍然一厢情愿地把学生早已熟知的结论硬梆梆地打上一个问号，活生生地把一个结论拽回到猜想，再亦步亦趋地“引导”学生经历“探究”的过程。对学生而言，早已存储于头脑中的结论，哪里还有真正的“猜想”所具有的不可抗拒、让人锲而不舍地探究的魅力呢？所以，缺乏思维含量的操作验证也就使学生感到索然无味。事实上，上述教学还犯了循环论证的谬误：做平行四边形要应用其特征，但却要用做出的平行四边形来验证对其特征的猜想。这无疑是对学生数学思维发展的误导。我曾经问过一些执教的教师，“学生都已经知道了，干嘛还要这么去上课呢？”教师的回答同样令我瞠目结舌：“这种课，大家都这样上，我不这样上，还能怎么上？”显然，有不少教师已经意识到问题的存在，但都茫然不知所措。

三、 特征已知，怎么教

显然，对于认识图形特征的教学问题已经不是改良所能解决的，我们必须有根本性的变革。解决问题的基点是，我们得老老实实地承认学生已经知道了图形的特征。学生对于假猜想、假验证早已是“小和尚念经——有口无心”。与其走形式化的所谓科学探究之路，倒不如基于学生对图形特征的初步认识，考虑如何进一步认识、把握、应用图形的特征，发展学生的空间观念和思维能力。这其中，最重要和最根本的是如何摒弃形式主义的操作活动，让操作积累更具生长力量的活动经验，从而发展学生的空间观念。

1.引入

（1）出示木条钉成的长方形框架，让学生说说长方形有哪些特征。并引导学生观察对边的位置关系，发现长方形的对边平行。（三年级学习时，未认识平行。）

（2）将长方形框架拉成平行四边形，说说这个平行四边形有哪些特征。学生说出：对边相等且平行、对角相等。

2.探究

（1）出示活动材料，引导学生观察并思考：怎样做平行四边形？

①6根小棒。（如：8厘米、5厘米各2根，3厘米、2厘米各1根，各组的小棒长度并不相同。）

②方格纸。

③钉子板。

④三角形纸片。（有的组3张，其中2张完全一样，第三张不一样，但可与前者拼成梯形；有的组只提供1张。）

⑤白纸紧包钢尺。（纸上已留下包的折痕。）

⑥1张梯形纸或1张一般四边形纸。

（2）自主选择2到3种材料想办法做出平行四边形。

（3）不能独立解决的，合作完成。

（4）组内讨论：怎样解释自己做出的是平行四边形？

3.交流

重点交流除了用验证平行线的方法说明平行和用直尺测量或数格子的方法说明相等以外，还有哪些方法可以说明？

对用材料①做的学生，追问：为什么不选择3厘米和2厘米的？如果拿掉1根5厘米的还能做出平行四边形吗？这说明了什么？（对边必须相等，才能做出平行四边形。）

对用材料②做的学生，追问：未沿着格子线画的两条边怎么说明是平行且相等的？学生有的说：因为都是沿着同一方向画3×2的长方形对角线，所以平行且相等；有的说：把直角边为2和3的三角形剪下平移，对边将会完全重合。

钉子板，学生通常都是先围成一个长方形，再拉伸或缩减得到平行四边形。学生解释：上边从左往右缩进2格，下边从右往左也缩进2格，所以倾斜的角度是完全一样的，左、右两边平行……

对用材料④做的学生，追问：通过尝试，你发现什么？学生答：必须用两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形，最好先重叠再旋转（加平移）就能拼成平行四边形。∠1=∠1'，∠2+∠3=∠2'+∠3'，所以对角相等。如果用另外一个不一样大的三角形来拼，只能拼成一个梯形，只有一组对边平行。只用一个三角形，就先画下它，再旋转（或加平移）画出完全一样的另一个三角形也能做出平行四边形。

用材料⑤做的学生解释：因为钢尺的对边是平行的，所以沿着钢尺的对边分别画两组相交的平行线就得到平行四边形。

用材料⑥做的学生解释：梯形只有一组对边平行，用画平行四边形的方法画出另两条边（腰）中的一条的平行线就可以得到一个平行四边形。一般的四边形，以两条相邻的边为基础，分别画出它们的平行线也就得到平行四边形。

4.总结

通过探索和交流，你发现要判断一个四边形是不是平行四边形，需要怎样？学生纷纷表示：只需要符合其中一个特征，就能肯定它是一个平行四边形。

四、 操作思考，给力吗

传统教学的一个最不符合概念关系的做法便是割裂长方形与平行四边形的关系，将其并列甚至对立。教师明白它们之间的种属关系，但往往遮遮掩掩、欲说还休，有的只在课的最后点到为止。我们彻底颠覆这一做法，开门见山地由长方形框架的变形操作引入一般平行四边形。不仅如此，一开始便引导学生观察、发现长方形所具有的对边平行特征，为知识的迁移奠定了基础。更为重要的是，变形这一操作带来的思考：形状变了，对边平行且相等的关系没变，对角相等的关系没有。这样的操作有利于学生形象地理解变形过程中图形内涵的减少与外延的扩大，促进了他们对图形关系的自主建构。

我们在教学中并没有将学生说出的特征命名为“猜想”，也没有要求“验证”。而是让学生用感知到的特征想办法去做平行四边形，并对特征进行解释说明。机械的比、量、数缺乏数学思考的魅力，无法引发起学生深入探究的热情。我们的想法是：在多层次、多角度应用特征的活动中深化对特征的理解，在抽象和推理中抵达对本质的把握。我们对操作活动的设计可谓煞费苦心。我们努力超越形式上、肢体上的“动”，让操作插上思维的翅膀，让学生体验思考的力量，获得经验的生长。活动中，学生对材料的选择、甄别需要思维的参与，特征的应用不露痕迹。教师有意识地提供给各组材质、长度、面积等非本质属性存在变化的材料，有利于学生经历图形特征非本质属性的剥离和本质属性的抽取，渗透归纳推理的基本思想。材料①中别具匠心的3+2=5，既打破了学生用4根小棒围四边形的思维定势，明晰了边与小棒根数的非对应关系（几根小棒可以组成一条边），有利于学生超越表象向抽象的图形世界迈进，又巧妙蕴含了简单的演绎推理。对材料②、③、④、⑥的处理，我们敢于碰学生对相关边的关系似乎难以解释的“硬骨头”。实践证明：学生的直觉思维和逻辑推理潜能惊人，学生在空间位置关系、合理推理、演绎推理等方面的直观而不乏理性的智慧表达让我们仿佛看到了直观证明、解析几何的雏形，令人折服。在三角形、梯形、一般四边形的基础上创造平行四边形，能够很好地帮助学生积累旋转、平移、中心对称等图形变换的基本活动经验，在图形转化中厘清平行四边形与其他图形的内涵差别和外延关系，在对比中分化出平行四边形的本质特征，促进空间观念的发展。材料④中，学生选择两个完全一样的三角形拼成平行四边形自然而然地对两者的面积关系进行了早期孕伏，而在尝试过程中用两个不完全一样的三角形拼出梯形，更从反面强化了这种认识。学生在尝试用3个三角形拼出梯形后，移除不一样的三角形得到平行四边形的过程，则为用材料⑥中的梯形做出平行四边形积累了直观经验。对材料⑤的操作能让学生摆脱测量几何的束缚，仅借助直尺创造的平行四边形更能让学生在操作和思考中触及其本质特征——平行，有了平行，一切特征皆随之而来。从而也就从思想上自然地认识到人类将这类图形命名为“平行四边形”所体现的本质规定性及其合理性。

学生在这样的操作思考中，面临着形象思维、抽象思维、合理推理、演绎推理和空间观念的巨大挑战。但学生厌倦虚假的“再创造”，渴望考验智慧的挑战。也只有在这样的思考性操作中，学生才能积累起更具生长力量的数学活动经验。着眼于学生的发展，我们需要为学生选设适宜操作活动的资源空间、思维空间，促进互动性资源的生成，有意识地引领学生丰富认识、积累活动经验、提升思维品质。