方程根的解法探究

题目 已知函数f（x）=lnx+x，g（x）=ax-x-1（a>；0）.

（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）+g（x）在（0，e]上的最小值；

（Ⅱ）对于正实数m，方程2mf（x）=x2有唯一实数根，求m的值.

这是高三周测试题，对于第（Ⅰ）问学生都能掌握，第（Ⅱ）问能做完整的学生却寥寥无几，但是呈现了学生从不同思维角度的三种常见解法，笔者将过程整理如下：

解 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）解法1 （作差构造函数）考虑方程2mf（x）=x2有唯一实数根，可转化成函数h（x）=x2-2mf（x）有唯一的零点.

令h（x）=x2-2mf（x）=x2-2mlnx-2mx（x>；0），则h′（x）=2x-2mx-2m=2x2-2mx-2mx=2（x2-mx-m）x.

令M（x）=x2-mx-m，易知函数M（x）恒过（0，-m）.依据二次函数的性质和零点存在定理知：存在唯一的x0>；0满足h′（x0）=2（x20-mx0-m）x0=0，即：x20-mx0-m=0. ①

当x∈（0，x0）时，h′（x）<；0；当x∈（x0，+∞）时，h′（x）>；0，即函数h（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增，又当x0+时，h（x）+∞；当x+∞时，h（x）+∞所以要使函数h（x）在（0，+∞）有唯一的零点，只需满足h（x0）=0.

即x20-2mlnx0-2mx0=0. ②

由①②可得，2lnx0+x0=1，解得x0=1，代入①式，m=12.

故m=12时，方程2mf（x）=x2有唯一实数根.

点评 上述解法思路自然，大部分学生在考场中也是这样来处理的，但最终都无功而返，究其原因，主要是令h′（x）=0时，解得x1=m+m2+4m2，x2=m-m2+4m2（舍），再求h（x1）=0时带来了计算困难，不得已而放弃，因此采用了“虚拟设根，整体转换”方法处理，达到了化繁为简的目的！这种方法告诉我们，当导数的零点不易求，甚至有时不可求时，采用虚拟设根的方法“绕道而行”.所谓的虚拟设根，并非导数的零点不存在，相反而是先判断零点存在，只是求解过程复杂（甚至有时无法具体解出x0，例如2013年高考数学全国卷Ⅱ理科第21题第（2）问在解答过程中需要求函数h′（x）=ex-1x+2的零点），既然如此，可以不必正面强求，而是虚设其零点为x0，然后谋求一种整体的转化和过度.读者可以体会一下此方法在高考题目中的作用：

1.（2013年高考数学全国卷Ⅱ理科第21题第（Ⅱ）问）

已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.

（Ⅰ）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>；0.

2.（2012年高考数学新课标卷文科第21题第（Ⅱ）问）设函数f（x）=ex-ax-2.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x>；0时，（x-k）・f′（x）+x+1>；0，求k的最大值.

解法2 （分离常数等价转化思想）

当f（x）=0时，即lnx+x=0，显然不符合题意：

当f（x）≠0时，方程2mf（x）=x2有唯一实数根，等价于2m=x2lnx+x有唯一实数根.令h（x）=x2lnx+x （x>；0），则h′（x）=x（2lnx+x-1）（lnx+x）2，显然x=1是导函数h′（x）的唯一零点.当x∈（0，1）时，h′（x）<；0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）>；0，即函数h（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增，所以h（1）是函数h（x）极小值也是它的最小值，又可证当x0+时，h（x）+∞；当x+∞时，h（x）+∞，所以原命题等价于函数y=2m与函数h（x）图象在（0，+∞）有唯一的交点，所以2m=h（1）=1，解得m=12.

故m=12时，方程2mf（x）=x2有唯一实数根.

点评 当一个问题的表面看起来很复杂时，能否利用与其对应的等价命题来处理就显得难能可贵了，本题将方程有唯一实数根问题等价于两个函数的交点问题，从而优化了解题过程.

解法3 （数形结合的思想）由方程2mf（x）=x2有唯一实数根，可得12mx2-x=lnx.

记M（x）=12mx2-x，N（x）=lnx，则上述问题等价于M（x）与N（x）的图象有唯一的交点，设交点横坐标为x0，则由题意知：M′（x0）=N′（x0），

M（x0）=N（x0），即1mx0-1=1x0，

12mx20-x0=lnx0，

化简得2lnx0+x0=1，显然此方程只有一个根x0=1，此时m=12.

故m=12时，方程2mf（x）=x2有唯一实数根.

点评 上述解法将代数问题转化为几何直观，将研究的问题转化成我们熟悉的函数，从函数图象上清晰呈现了方程的唯一实根即为两图象相切这一几何形态，但是无论哪种解法都没有绕开解超越方程：2lnx+x-1=0，显然y=2lnx+x-1在（0，+∞）单调递增，x=1是方程的唯一实数根.

总之，数学能力的提高归根结底还是解题能力的提高，一题多解并不是目的.目的是通过思想方法的逐一呈现，从学生最易上手的方式方法入手，逐步逐级给予引导与批判，不畏艰难，不断优化解题思维品质，从而最终达到提升自身解题的能力.