自选模块数学部分练习

编者按:自选模块考试是浙江省新课程高考的一大亮点。经过了2009年“首战”,这部分内容的考查方式可以说是“大局已定”。据老师们反映,由于自选模块考试属浙江省首创,因而在复习中存在经验不够、复习资料不足等问题,尤其是数学部分,可供练习的好题很少。高三上半学期期末正值各校进行自选模块的首轮复习阶段,本刊编辑部特组织了一批出题角度各异、难度梯度合理的自选模块数学部分练习题,希望对大家复习备考有所帮助。

一、 不等式选讲

1. 已知实数x,y满足3x2+2y2≤6,求证: 2x+y≤.

2. 已知a,b,c,x,y,z∈R*,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,求的值.

3. 已知+= (a>0,b>0),求证:对任意正整数n,都有+=.

4. 已知a,b,c∈(1,2),

(1) 求证: ≥;

(2) 求w=++的最小值.

5. 已知x,y,z∈R*,且x+y+z=1.

(1) 若2x2+3y2+6z2=1,求x,y,z的值.

(2) 若2x2+3y2+tz2≥1恒成立,求正数t的取值范围.

6. 已知≤x≤5,

(1) 求f(x)=x-2-2x-3的值域;

(2) 求证:++

7. 设x,y,z∈R,且x+2y+3z=1.

(1) 求证:x+y+z+y+z+z≥1;

(2) 求u=(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2的最小值.

8. 求函数y=++的最大值和最小值.

二、 极坐标与参数方程

1. 求直线x=2+t,y=t(t为参数)被双曲线x2-y2=1截得的弦AB的长.

2. 已知a>0,过M(a,0)任作一条直线交抛物线y2=16x于P,Q两点,若+为定值,求a的值.

3. 已知点P(x,y)是椭圆+=1上的动点.

(1) 求x+2y的取值范围;

(2) 过点Q(2,0)作倾斜角为α的直线与椭圆交于不同的两点M,N,求QM•QN的取值范围.

4. 已知点M(1,3),直线x=1-t,y=3+t(t是参数)与圆x=1+5cosθ,y=5sinθ(θ是参数)相交于P1,P2两点. 求:

(1) 点M与P1,P2两点间的距离之积;

(2) 点M与P1,P2两点间的距离之差的绝对值;

(3) 线段P1P2的中点坐标.

5. 在极坐标系中,已知点A(,0),B3,,圆C以1,为圆心,且过极点O.

(1) 求直线AB及圆C的极坐标方程;

(2) 若直线AB交圆C于P,Q两点,求OP•OQ的值.

6. 已知圆C的参数方程为x=+2cosθ,y=2sinθ(θ为参数).

(1) 若P是圆C与y轴正半轴的交点,以圆心C为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,过点P作圆C的切线,求该切线的极坐标方程;

(2) 已知直线l经过原点O,倾斜角α=. 设l与圆C相交于A,B两点,求O到A,B两点的距离之积.

7. 如图1所示,已知抛物线C的参数方程为x=2t2,y=2t(t为参数),AB为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦,点M在线段AB上,且=3. 直线l(不垂直于对称轴)经过点M与抛物线交于C,D两点,且AMC和BMD的面积相等.

(1) 计算直线l的倾斜角;

(2) 以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线l的极坐标方程.

8. 已知双曲线的中心为O,实轴、虚轴的长分别为2a,2b (a

(1) 求证:+为定值;

(2) 求OPQ面积的最小值.

【参考答案】

一、 不等式选讲

1. 解: 设待定系数λ1,λ2,由柯西不等式得(3x2+2y2)(λ1+λ2)≥(x+y)2, 要证2x+y≤, 令=2,=1,则λ1=,λ2=;又3x2+2y2≤6, (2x+y)2≤(3x2+2y2)+=11, 2x+y≤.

2. 解: 25×36=(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=302,当且仅当===k时取等号. 由[k(x2+y2+z2)]2=25×36,x2+y2+z2=36解得k=, =k=.

3. 证明: +•(a+b)≥(sin2x+cos2x)2=1,又+•(a+b)=1,即等号能取到, =. a>0,b>0, 设==λ,代入+=得λ=,于是+=sin2x•n-1+cos2x•n-1=λn-1=.

4. (1) 证明略.

(2) 当且仅当a=b=c=时,wmin=2.

5. (1) x=,y=,z=(2) t≥6

6. (1) -,1

(2) 证明:(2++)2≤(22+12+12)•[()2+()2+()2]=6•(1-3+15)=78,即2++≤. 当==时x无解,即等号无法取到, ++

7. (1) 证明略.

(2) 解: x+2y+3z=1, (x-1)+2(y-2)+3(z-3)=-13;又(12+22+32)•[(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2]≥[(x-1)+2(y-2)+3(z-3)]2=(-13)2, 14u≥169,即u≥,取等号的条件是==;又x+2y+3z=1, x=,y=,z=. 故当x=,y=,z=时,umin=.

8. 解:显然函数的定义域为[0,13]. y=++=+≥+=3+,当x=0时等号成立,故y的最小值为3+.

由柯西不等式得y2=(++)2≤+1+•[2x+(x+27)+3(13-x)]=121,当4x=9(13-x)=x+27时等号成立,解得x=9, y≤11. 故当x=9时,y的最大值为11.

二、 极坐标与参数方程

1. 解:把直线参数方程化为标准参数方程x=2+,y=t(t为参数),代入双曲线方程得2+t2-t2=1,整理得t2-4t-6=0,则t1+t2=4,t1•t2=-6. 弦长AB=t1-t2====2.

2. 解: 设过点M(a,0)的直线为x=a+tcosα,y=tsinα,代入y2=16x整理得t2sin2α-16tcosα-16a=0. 设P,Q两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1•t2=, +=+=sin2α+,故当a=8时,+为定值.

3. (1) [-4,4]

(2) 解: 设直线的参数方程为x=2+tcosα,y=tsinα(t为参数),代入椭圆方程整理得(3+sin2α)t2+12cosα•t+24=0,故t1t2=, QM•QN=t1•t2=t1t2=. 由Δ=144×3cos2α-4×24×(3+sin2α)>0,得0≤sin2α

4. (1) 16(2) (3) ,

5. (1) 直线AB的方程:ρcosθ-=;圆C的方程:ρ=2cosθ-.

(2) 3

6. 解:由题设可知圆C:(x-)2+y2=4 ,圆心C(,0),半径为2.

(1) 由已知可得P(0,1), ∠PCO=. 设M(ρ,θ)是过点P的圆C的切线上任意一点,则在RtMPC中,有ρcosθ-π=2,即为所求切线的极坐标方程.

(2) 直线l:x=t,y=t(t为参数),代入圆C方程,可得t-2+=4,整理得t2-3t-1=0,故t1t2=-1,则O到A,B两点的距离之积t1t2=1.

7. 解: (1) 消去参数t,得抛物线方程为y2=2x, F,0. 把x=代入抛物线方程得A,1,B,-1,由=3得M,. 设直线l的倾斜角为α,则其参数方程为x=+scosα,y=+ssinα(s为参数),代入抛物线方程得:+ssinα2=2+scosα,即s2sin2α+s(sinα-2cosα)-=0. 设C,D对应的参数分别为sC,sD,则sC+sD=,sC•sD=-(*). AMC和BMD的面积相等, AM•CMsin∠AMC=BM•DMsin∠BMD, AM•CM=BM•DM;又 BM=3AM, CM=3DM, sC=-3sD. 将其代入方程组*得-2sD=,=;化简得4=, 4cos2α=4cosαsinα; cosα≠0, cosα=sinα, α=.

(2) θ=

8. (1) 证明:设双曲线方程为-=1,化为极坐标方程得ρ2b2cos2θ-ρ2a2sin2θ=a2b2,即ρ2=. 设P(ρ1,θ), OPOQ, Qρ2,θ+(0≤θ≤2π), ==,===, +=+=(定值).

(2) 解:设OPQ的面积为S,则S2==•=•=. 当θ=,,或时,Smin=.