小心数学试题中的“零”陷阱

“零”在初中数学中具有特殊的地位，但许多同学在解题时忽视“零”存在，因而造成解题的失误。在竞赛，中考中经常会出现一些看似简单的小题目，实际存在着不易察觉的与“零”有关的陷阱。现举数例如下：

一、利用零是最小的自然数而设置零陷阱

例1观察等式9-1=8，16-4=12，25-9=16，36-16=20，…这些等式反映自然数间的某些规律。设n表示自然数，用关于n的等式表示上述规律。

错解由观察可知，所有等式的左边都是相差为2的两个自然数的平方差，规律为（n+2)2-n2=4(n+1)

剖析上解若规定最小的自然数为1，答案正确，但现在人教版 从2000年就规定零是最小的自然数。当n=0时，得4-0=4（0+1）。条件中不包含这个等式，正确答案为（n+3)2-(n+1)2=4(n+2)。

二、利用分式的分母不等于零而设置零陷阱

为了确保除法运算及分式运算有意义，规定了“除式不能为0”，“分母不能为0”。

例2要使分式 的值为零，x的值应是

。

错解容易想到令分式的分子等于0，x2-9=0,可得x=±3。

剖析当x=3时，分母为0。此时分式没有意义，所以正确答案为x=-3。

三、利用函数中有关系数不等于零而设置陷阱

例3若函数y=(n-2)xn -n-1是正比例函数，那么n的值是。

错解n2-n-1=1,n=2或n=-1。

剖析正比例函数y=kx(k≠0），解题时，若忽略n-2≠0这个条件就会导致错误。正确的答案应为：n=-1。

例4如果函数y=(m-3)xm-3m+2+mx+1是二次函数，那么m的值一定是（）

A.0 B.3 C.0,3 D.1,2

错解C

剖析注意函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，a≠0这个十分重要的条件，若忽略了m≠3的条件，就会导致错误。正确的答案为A

四、利用同底数幂相除时，底数不等于零而设置零陷阱

在同底数幂的除法中，为了确保零指数幂，负整数指数幂有意义，规定了底数不等于0。

例5已知(x2+2x+1)0=x2-2x-2,则x=。

错解由x2-2x-2=1,得x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3

剖析当x=-1时，x2+2x+1=0,而零的零次幂无意义，x=-1是增根。正确的答案为：x=3。

例6（2002年全国初中数学竞赛题）满足（n2-n-1)n+2=1的整数n有 个。

错解因为1的任何次幂都是1，所以当n2-n-1=1时，有n1=2n,n2=-1。

剖析因为当n=-2时，n2-n-1=5≠0,n+2=0。所以（n2-n-1)n+2=1。因此符合题意的有3个，即2，-1，

-2。

五、利用等比性质中，分母之和不等于零而设置零陷阱

例7设k= = = ,则 + + 等于 。

错解由等比定理，得

k= =2, 则 + + =3 。

剖析等比定理成立的条件是a+b+c≠0,若a+b+c=0,等比定理就不能用了，此时b+c=-a,从而k=

- =-1,则 + + =-

因此正确答案应为：3 或-

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