如何提升数学理解的层次

摘 要：数学理解是世界数学教育界所关心的一个中心话题. 近年来，更是引起了国内数学教育者的广泛关注. 数学认知理解水平可分为三个层次：其一，操作性理解；其二，关系性理解；其三，迁移性理解. 本文从一道试题说起，探究在高中数学课堂中，如何有效提升学生的数学理解层次.

关键词：数学；理解层次；有效提升

[?] 问题的提出

1. 源起：两次“偶然”

例1 （2013年某市高三第一次适应性测试数学（理） 20题）

如图1，已知平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面，且PA=AB=AC.

（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；

（Ⅱ）（略）.

图1

例2 （2014年某市高三第一次适应性测试数学（理）19题）

已知数列{an}中，a1=，an+1=（n∈N*）.

（Ⅰ）求证：数列

是等差数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）（略）.

2013年高三第一次适应性测试后，通过对某普通高中考生的作答情况进行研究，笔者“偶然”关注到例1第（Ⅰ）问得分情况很不理想. 调查获悉，较普遍的现象是考生能想到利用直线与平面平行的判定定理来解决此题，但受困于无法顺利找到平面QBC内与PA平行的直线.

无独有偶，2014年高三第一次适应性测试中，例2第（Ⅰ）问的失分率也偏高，这又一次引起了笔者的关注. 答卷中，相当一部分考生无法给出

是等差数列的证明，而是通过a1=及递推关系式，计算a2，a3，a4（甚至更多），之后猜想得到{an}的通项公式；还有一些考生对an+1=（n∈N*）进行了一些等价变形，但方向不明确，始终没有得到与之间的关系.

2. 追问：背后的“故事”

例1与例2的第（Ⅰ）问都是比较基础的问题，但出乎意料的作答情况不禁让人追问其背后的“故事”. 笔者认为，这种现象的产生有很多原因，归根结底是学生对数学问题的理解还停留在较低的思维层次.

数学理解是世界数学教育界所关心的一个中心话题. 近年来，更是引起了国内数学教育者的广泛关注和积极研究. 某教育者指出，数学认知理解水平可分为三个层次：其一，操作性理解，即学生懂得了数学的基本概念、原理和方法，能够运用所学知识解决一些识记性与操作性步骤比较强的简单问题；其二，关系性理解，即学生对数学知识的本质有比较深刻的认识，能够把握数学知识之间的内在联系和规律，能够运用所学知识解决一些综合性问题；其三，迁移性理解，即学生深刻理解数学知识，能够将数学思想、方法以及所学数学知识迁移到别的情景，能够灵活运用数学知识解决问题.

由于学习兴趣、原有基础、接受水平等主客观因素的影响，高三学生的数学认知理解水平存在明显的层次差异. 如何从根本上提升他们的数学理解层次，促进学习的有效性？

[?] 策略的探索

新《数学课程标准》提出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上. 教师应帮助他们真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”. 在高三数学课堂中，教师可以从以下三个方面来提升学生对数学理解的层次，激发其学习数学的信心和兴趣.

1. 通过学生问题的暴露，提升理解层次

建构主义学习观认为，知识并不能简单地由教师传授给学生，而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构. 学生的错误也不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提.

因此，教师在教学过程中需充分了解学生的最近发展区，精心设置问题或例题，使学生经历错误产生――自我否定――加深理解的过程，在错误的思维冲击后，实现对知识的正确把握和能力培养，促使理解层次的提升.

【教学片段1】 讨论函数f（x）=kx3-3x2+1（k≠0）的单调区间.

学生1与学生2的答案截然不同，这引起了小小的“躁动”.

教师：两种结果，哪一个正确？

学生：学生1的答案是错的. 他给出的是导函数的单调区间，而不是原函数的. 我们应该关注的是导函数的正负.

教师：说得真好！像学生1的错误是很普遍的，因为你们对二次函数太熟悉了，解答过程中不知不觉地“偷天换日”，转为求导函数的单调区间了. 大家要吸取教训！

教师：学生2的求解呢？

学生：k>0时的结果是对的，但k

教师：那么正确的答案应该是什么？学生2，你能自己更正吗？

学生2：当k

基于初中的学习，学生对二次函数的图象、单调区间等知识几乎根深蒂固. 当碰到导函数是二次函数时，很容易就用其单调性来代替原函数的单调性. 在学生初次接触导数时，这是比较普遍的错误. 此处，教师从学生认知的最近发展区出发，通过让学生尝试犯错，并对错误进行诊断的处理方式，不仅给学生留下深刻印象，而且使导数与函数单调性的关系深入人心. 这样的处理策略有效地引导学生的认知理解水平向更高一层次转化，逐渐体验数学迁移的能力.

2. 通过知识网的搭建，提升理解层次

系统论认为：系统地组织起来的材料所提供的信息远远大于部分材料提供的信息之和，但这个系统的建立，不是简单叠加. 现代科学研究发现，较低层次的知识点和能力元，难以形成较高层次的功能系统，因此这个系统还要结合知识网络交汇点进行整合.

皮亚杰认为，学习是一种能动的建构过程. 在高中数学学习过程中，学生只有拥有清晰的脉络，在遇到问题时，才能迅速做出反应，选择出最适合解决这类问题的方法. 从而知识网的建立就具有重要的意义.

【教学片段2】 （即例1）

教师：如何找到平面QBC内与PA平行的直线？

学生：已知条件中面面垂直用起来就可以了. 因为平面QBC平面ABC，交线为BC，所以只要在平面QBC内作一条垂直于交线的直线QD，那么QD就会平行PA.

教师：为什么？

学生：因为QD，PA都垂直于平面ABC，所以QD∥PA.

教师：非常好！当看到面面垂直这个条件时，就要联想到它的性质，从而解题的突破口自然呈现. 辅助线一添加，思路就豁然开朗. 再利用定理：垂直于同一平面的两直线平行，实现了平行与垂直的转化. （教师一边解释，一边记录知识的框图（图2））

[线线垂直] [线面垂直][面面垂直][性质][性质][判定][线线平行][线面平行][面面平行]

图2

此片段中，教师的处理是“授之以渔”的方式，学生通过积极地回忆、建构知识网，不仅解决了考试时的困惑之处，更系统地复习了 “平行与垂直的位置关系”知识链条，使理解的层次得到一定提升. 美国著名教育家、心理学家布鲁纳曾指出：“知识如果没有完满的结构把它连接在一起，那是一种多半会被遗忘的知识. ”站在系统的高度来引领教学不仅使我们的课堂能够“丰满”起来，不断从低效走向有效达到高效，而且使学生的学习变得有章可循，使探究达到“润物细无声”，这样我们的复习课就能升华为一种境界：天空不留痕迹，鸟儿已经飞过.

3. 通过数学本质的揭示暴露，提升理解层次

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“形式化是数学基本特征之一. 在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.” 只有理解了数学问题的内核，理清了知识的内部联系，才能透过现象看本质.

影响学生数学理解的重要因素是学生是否具有“理解”的心向，即是否能通过自己积极的思维活动，实现对所学数学知识本质和规律认识的心理愿望. 所以在高中数学课堂中，教师通过积极引导，启发学生的思维，通过对数学本质的揭示，突破问题的难点. 数学教学中只有重视引导学生经历数学理解的过程，引导学生关注和把握数学的本质与联系，才能有效地提升学生的理解层次.

【教学片段3】

教师：请你结合图象，说说y=sinx，x∈R的单调区间.

学生：y=sinx的单调增区间有很多个，比如-

罗素（Russell）指出：“凡是你教的东西，要教得透彻”. 在教学中我们尽量引导学生揭示被千变万化的数学表象所掩盖的数学本质，还数学以本原，促进理解层次的提升.