关于Gauss―Kronecker曲率为零的极小超曲面的注记

摘要研究了R4中满足Gauss-Kronecker曲率为零的极小超曲面.Hasanis猜想：R4中Gauss-Kronecker曲率恒为零的极小超曲面是R3中极小曲面与实数直线的黎曼乘积.对于上述猜想，Hasanis等人给出了部分证明，得到了一个定理，本文利用具体例子说明该定理中的部分条件是不必要的，并得到分类定理.

关键词Gauss-kronecker曲率；主曲率；极小超曲面

中图分类号O186文献标识码A文章编号1000-2537（2013）02-0013-03

超曲面的Gauss-Kronecker曲率是一个重要的几何不变量.因此研究具有常Gauss-Kronecker曲率的黎曼流形，尤其是空间形式中具有常Gauss-Kronecker曲率的超曲面是有意义的.关于Qn+1中极小超曲面Mn，Dajczer和Gromoll[1]利用S4中一类极小曲面构造S4中具有零Gauss-Kronecker曲率的极大超曲面M3，de Almeida和Brito[2-3]对S4中具有零Gauss-Kronecker曲率的紧致极小超曲面进行分类，成庆明[4]研究S4[5]和H41（-1）[6]中具有零Gauss-Kronecker曲率的极大类空间超曲面，Hasanis等人把结果推广到R4[7]，H4[8]和S4[9]中的完备极小超曲面.对于猜想[7]：R4中Gauss-Kronecker曲率恒为零的极小超曲面是R3中极小曲面与实数直线的黎曼直积，给出了如下定理.

定理1[7] 设M3是数量曲率有下界的完备可定向三维黎曼流形，f：M3R4是满足Gauss-Kronecker曲率恒为零，第二基本形式恒不为零的等距极小浸入，则f（M3）可分解为黎曼直积L2×R，L2是R3中高斯曲率有下界的完备极小超曲面.

上述分类定理对数量曲率和第二基本形式加了很强的条件.如果f：M3R4是完备极小超曲面，f（M3）可分解为L2×R，其中L2是R3中的完备极小曲面，那么M3的数量曲率一定有下界吗？本文通过具体例子说明上述定理中的部分条件是不必要的，并给出分类定理.

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