类比转化思想在解题中的应用

【摘 要】类比，是将相近的相似的甚至是相对的两个对象进行对比、比较，便于理清其异与同，易于触发灵感、丰富联想、提升认识，因此，类比是重要的数学方法。

【关键词】类比“定义”“性质”

1.类比“性质”

例1.在等差数列{an}中，若a10=0，则有性质：a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n

成立。类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式__________________成立。

赏析：这是明确要求进行“性质类比”，重在考查学生的直觉判断与抽象思维。因在等差数列{an}中，a10=0，则n=10时已知等式为：a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a9。

据此在等比数列{bn}中，若b9=1，则类比可得：b1・b2…b9=b1・b2…b8，

故所得答案为：b1・b2…bn=b1・b2…b17-n。

2.类比“方法”

类比要有一定的情境，这种情境可象上例那样题设给出，也可借助已有的感知基础，这就使得有些类比题十分鲜活，于是出现了许多类比方法试题。

例2.设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得：f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为______。

赏析：因等差数列前项和公式推导方法核心是倒序相加即首尾相加，所以本题求解如下：设x1+x2=1，则有

3. 类比“定义”

类比定义要求对类比对象的定义内涵、概念原理有透彻的理解与感悟，也就是说它更益考查抽象、概括等思辩能力。

例3.已知A={（x，y）|x2+x2+4x+4y+7=0，x，y，为实数}，B={（x，y）|xy=-10，x，y为实数}。（1）请根据自己对点到直线的距离、两条异面直线的距离中“距离”的认识，给出集合A与B的距离的定义；（2）依照（1）中的定义求出A与B的距离。

赏析：此题内容深刻，知识跨越较大，考查类比信息迁移能力要求较高。回想点到直线的距离，可理解为定点与直线上任意一点连线段中的最短者；而两条异面直线的距离，也是两条异面直线上两个点连线段中的最短者。因集合A是圆上的点集，B是双曲线上的点集，所以与B的距离应定义为：两条曲线上两点间距离的最小值。故有

（1） 定义A与B的距离为：d=|MN|min（其中N∈A，M∈B）；

（2） 圆（x+2）2+（y+2）2=1的圆心为G（-2，-2），设M（x，y）是双曲线xy=-10上任一点，则|GB|2=（x+2）2+（y+2）2=x2+y2+4（x+y）+8=（x+y）2-2xy+4（x+y）+8

4.类比“情境”

类比情境即指类比题设结构特征等外在的形式，其内涵可以有出入，但表面的东西可以使我们产生广泛联想。

例4.设{an}是集合{2'+2s|0≤s

3

5 6

9 10 12

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……

（1）写出这个三角形数表的第4行、第5行各数；（2）求。

赏析：一见此题的特征情景，不由联想起“杨辉三角”，尽管数表的规律不同。

第（1）问还是容易看出的，即第4行为：17，18，20，24；第5行为：33，34，36，40，48。

对第（2）问，须深刻分析题意。现采取易于接受的思考来求解：三角形数表由上到下每行数的个数构成等差数列：1，2，3，4，…，n，…。